Zahlentheorie: biquadratische Kongruenz

08.09.2007, 21:06

mylittlehelper

Zahlentheorie: biquadratische Kongruenz

Hallo,

ich habe ein Problem beim Lösen der folgenden Aufgabe.

Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der biquadratischen Kongruenz

$\begin{eqnarray*} x^4-10x^2+5\equiv 0 \mod 17 \end{eqnarray*}$

Meine Überlegungen:

1) Substituiere $\begin{eqnarray*} z:=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2-10z+5\equiv 0 \mod 17 \end{eqnarray*}$

2) Finde die quadratische Ergänzung

$\begin{eqnarray*} (z-5)^2-20\equiv 0 \mod 17 \end{eqnarray*}$

3) Substituiere $\begin{eqnarray*} s:=z-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s^2\equiv 20 \mod 17 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s^2\equiv 3 \mod 17 \end{eqnarray*}$

Und genau hier stocke ich, denn diese Gleichung ist nicht lösbar. Ich bin halt skeptisch zu schreiben, dass es keine ganzzahligen Lösungen gibt.

08.09.2007, 23:38

therisen

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Hallo,

die biquadratische Kongruenz hat in der Tat keine ganzzahligen Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x^4-10x^2+5\equiv 5,6,10,12,13,15,16\pmod{17} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

09.09.2007, 09:22

mylittlehelper

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Vielen Dank für die Bestätigung. Ist der Lösungsweg denn prinzipielll richtig?

09.09.2007, 10:36

therisen

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Ja, aber etwas "Glück" war schon dabei, denn hätte sich herausgestellt, dass nur $\begin{eqnarray*} z\equiv3\pmod{17} \end{eqnarray*}$ die Gleichung löst, hätte es ja trotzdem keine Lösungen (für x) gegeben.

09.09.2007, 11:13

mylittlehelper

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Zitat:

Original von therisen
Ja, aber etwas "Glück" war schon dabei, denn hätte sich herausgestellt, dass nur $\begin{eqnarray*} z\equiv3\pmod{17} \end{eqnarray*}$ die Gleichung löst, hätte es ja trotzdem keine Lösungen (für x) gegeben.

Ja, beim "Rückwärtseinsetzen" muss man dann aufpassen, dass die Lösungen ganzzahlig bleiben. Vielen Dank!

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