Rotationsfläche einer um die z-Achse rotierende Funktion

09.09.2007, 12:49

Milkaschokolade

Rotationsfläche einer um die z-Achse rotierende Funktion

Hallo,

ich suche eine Aufgabe, wo ich die Rotationsfläche einer um die z-Achse rotierenden Funktion berechnen muss.
Ich finde irgendwie nur Aufgaben, wo die Funktion um die x-Achse rotiert. Aber wenn eine Funktion um die z-Achse rotiert, wird das ja anders gerechnet...

Hat jmd von euch so eine Aufgabe für mich?

09.09.2007, 13:20

Frooke

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Meinst Du die y-Achse, also sowas?:

$\begin{eqnarray*} f: & & [0,1]\to[0,1]\\ & & x\mapsto \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

rotiert um die y Achse... Dann kannst Du das mit Umkehrfunktionen machen...

09.09.2007, 13:36

Milkaschokolade

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Mh, ne ich meine die z-Achse.
Falls es euch hilft:
Es geht um den Sachverhalt, der im 2. Papula-Band 10. Auflage auf Seite 279 beschrieben ist. Dort wird gesagt, dass die Fläche der um die z-Achse rotierenden Normalparabel $\begin{eqnarray*} z=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ ist.
Es wird von der Normalparabel $\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$ ausgegangen.

Ich verstehe aber nicht so recht wie ich das jetzt mit anderen Funktionen also z.B. $\begin{eqnarray*} z=2x^2+3x+5 \end{eqnarray*}$ berechnen würde...

09.09.2007, 13:39

WebFritzi

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Zitat:

Original von Milkaschokolade
Dort wird gesagt, dass die Fläche der um die z-Achse rotierenden Normalparabel $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ist.

Was ist denn dabei y?

09.09.2007, 14:15

Milkaschokolade

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Erstmal sorry, hab mich eben vertan: Im Buch steht, dass die Fläche $\begin{eqnarray*} z=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ ist, also ohne die Wurzel. Hab das im anderen Post schon verbessert.
Aber das mit dem y verstehe ich auch nicht... Es steht dort auch noch, dass man auf die Fläche kommt, indem man die Substitution $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ anwendet, da $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ ist. So und da für die Fläche der rotierenden Normalparabel $\begin{eqnarray*} z=r \end{eqnarray*}$ gilt, ist die Fläche dann irgendwie $\begin{eqnarray*} z=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ ...

Auf die Normalparabel bezogen verstehe ich das auch größtenteils, ich könnte es nur nicht auf andere Funktionen anwenden...

09.09.2007, 14:26

WebFritzi

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Also, eigentlich brauchst du die y-Achse gar nicht. Sie dient hier nur als Hilfe, da der Körper (der rotierte Graph) ja nur im 3-dimensionalen Raum existiert. Es geht hier eigentlich vielmehr um die Rotation einer Funktion x -> f(x) um die y-Achse und die Oberfläche des entstandenen Körpers. Nun, für das Volumen - wissen wir aus der Schule - gilt

$\begin{eqnarray*} V = \pi\cdot\int_a^b f(x)^2\,dx. \end{eqnarray*}$

Für die Oberfläche ist es ganz ähnlich. Da haben wir

$\begin{eqnarray*} O = 2\pi\int_a^b |f(x)|\, dx. \end{eqnarray*}$

Für deine Normalparabel zwischen -1 und 1 wäre das

$\begin{eqnarray*} O = 2\pi\int_{-1}^1 x^2\,dx = 2\pi\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^1 = 2\pi\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi. \end{eqnarray*}$

09.09.2007, 14:54

Milkaschokolade

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Mmh, ich bin mir eigentlich sicher, dass es dort (noch) nicht um die Rotationsvolumina/Oberflächen geht, die mit Integralen berechnet werden. Das kommt erst viel später in dem Buch...

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