Eindeutigkeit von Lösungen von DGLs |
| 09.09.2007, 13:14 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Eindeutigkeit von Lösungen von DGLs Ich lese mich grad so durch den Heuser II durch (gewöhnliche Differentialgleichungen), naja es ist wohl mehr ein diagonales überfliegen, weil ich da doch zuwenig von verstehe. Und da ist mir folgendes aufgefallen. Der Mann verwendet ja eine Menge Energie darauf zu zeigen ob und wieviele Lösungen eine DGL hat. Das Wünschenswerte Ergebnis ist ja, dass eine DGL immer eine Lösung hat und sie auch die einzige ist. Jetzt ist mir aufgefallen, dass diese "Lösungen" aber oft Integrale sind, die nicht elementar darstellbar sind. Und das machte mich denken, wieso so eine Lösung dann trotzdem als eine "exakte Lösung" präsentiert wird. Gibt es in der Richtung irgendwelche Überlegungen? Weil formal hat man ja gezeigt, dass es eine Lösung gibt. Wir wissen aber nicht wie sie aussieht! Weil man kann klarerweise versuchen das Integral anzunähern, was ja auch meist das Mittel der Wahl ist. Aber "exakt" ist doch etwas anderes! Oft sagt ja der Heuser auch, dieses oder jenes Integral ist nicht elementar darstellbar. Was eine elementare Funktion ist ist sogar mir klar, aber mir macht das doch zu schaffen, dass das Integral als eine exakte Lösung präsentiert wird, aber nicht auswertbar ist. Gibt es da Ansätze dazu? Im Sinne von "Ja wir warten halt noch auf eine weitere elementare Funktion, mir der das dann berechenbar ist" Oder ist das mehr ein resignieren a la "Da haste das Integral, das kannste jetz annähern, besser wird das nich" Ich weiss, dass das Thema mehr philosophischer Art ist, und vllt den einen oder anderen an den Streit erinnert, der über das Wesen von Funktionen entbrannt ist, hoffe aber, dass da einer was zu sagen kann. gruß, bishop |
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| 09.09.2007, 13:19 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Eindeutigkeit von Lösungen von DGLs Einen Analytiker interressiert nunmal nur Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. Gegebenfalls macht er sich auch Gedanken über die Regularität und Asymptotik, aber spätestens dann endet sein Interesse an dem Problem. Alles weitere übernehmen dann meist Numeriker, da beim approximieren ("ausrechnen") der Lösung(en) analytische Methoden schnell versagen. |
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| 09.09.2007, 13:45 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@bishop: Es gibt nunmal (sehr viele) Funktionen, die keine elementare Stammfunktion besitzen. Natürlich versucht man da nicht, eine Stammfunktion anzugeben, da es einfach nicht möglich ist. Es ist also nicht so, dass man aufgibt, sondern man weiß es einfach besser. 
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| 09.09.2007, 14:08 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmh tscha, dann muss ich mich damit wohl zufrieden geben... In etwa so wie mit der Transzendenz von e oder so, da hat sich die Welt mit abgefunden, dass es keinen Zahlenwert zu gibt... Wobei bei e sagt man ja auch, dass da unser Zahlensystem versagt. Ist es nicht denkbar ein Zahlensystem einzuführen, das e zufriedenstellend angibt (insbesondere so, dass alle Rechnungen genau ausfallen) und ist es weiterhin nicht möglich ein System einzuführen, bei dem alle Integrale genau auswertbar sind? |
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| 09.09.2007, 14:10 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Über die Grenzwertdefinition von e, lässt sich (auch in unserem Zahlensystem) e bleiebig genau berechnen. |
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| 09.09.2007, 14:11 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Eindeutigkeit von Lösungen von DGLs Vielleicht noch eine kleine Ergänzung: Im Bereich der gewöhnlichen DGL's gibt es nur eine kleine Anzahl an Differentialgleichungen, die elementar gelöst werden können. Dazu werden dann s.g. Rezepte angegeben, wie z.B. bei Trennung der Variablen Lineare DGL's usw. Eine Vielzahl an Lösungsverfahren ist außerdem in Standardwerken, wie bsw. "Kamke" vorgegeben. Der Großteil ist aber dennoch mit elementaren Methoden nicht lösbar. Dabei wird dann also auf Hilfe aus der Numerik gehofft. Wie bereits richtig erwähnt ist aber das eigentlich mächtige Instrument in der Theorie der DGL die Aussage der Existenzsätze von bsw. Picard-Lindelöf oder Cauchy usw, die eine Aussage über die Existenz oder Eindeutigkeit einer DGL aussagen. Achso: Warum sollte man weiterrechnen wollen, wenn die ganze Sache auch von Computern bewerkstelligt werden kann? Das ist vergeudete Zeit, weil Mathematiker i.d.R. da nicht den Sinn ihrer Arbeit sehen. VR |
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| 09.09.2007, 14:12 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Dual: Ich würde eher sagen: "beliebig ungenau".
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| 09.09.2007, 14:15 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Eindeutigkeit von Lösungen von DGLs
Das sehe ich anders. Der Grund liegt IMHO eher darin, dass es einfach nicht exakt geht (wie du auch schon geschrieben hattest). EDIT: Wenn du eher das Rechnen meinst, um eine Annäherung an die Lösung zu finden, gebe ich dir recht. |
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| 09.09.2007, 14:21 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Eindeutigkeit von Lösungen von DGLs
Das meinte ich
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| 09.09.2007, 14:35 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK. 
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| 09.09.2007, 15:32 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nya gut, dann von einer anderen Warte aus. Der Heuser hat vor allem immer wieder geschichtliche Rückblicke veranstaltet um zu verdeutlichen, dass die Gattung der DGL durchaus reelle Wurzeln hat und aus dem Alltag kommt. Dazu wurden solche Zitate geliefert wie
Nehmen wir also das Beispiel des Mathematischen Pendels. Die Rechnung sieht ja einfach aus wenn man die Kleinewinkelnäherung bringt. Versucht man aber das Ganze zu verallgemeinern, stirbt die Lösung, da ein nicht elementar berechenbares Integral ins Spiel kommt. Das heisst also: Man hat ein konkretes Problem, das man durchführen kann. (Ein Pendel hat wohl schon mal jeder ausgelenkt) Die Frage nach dem Zeitlichen Verlauf ist ebenso klar. Und trotzdem kann ich sie nicht berechnen! Denn der Analytiker sagt ganz locker "ja, es gibt eine Lösung, und sie ist eindeutig" Und der Numeriker rechnet einem eine beliebig gute Näherung aus. Aber der Grenzübergang ist eben nicht zu machen, die vom Pendel vollführte Bewegung stimmt niemals mit der berechneten überein! Und trotzdem ist die Lösung exakt? |
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| 09.09.2007, 15:40 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich ist die Lösung NICHT exakt. Was ist so schlimm daran? |
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| 09.09.2007, 15:58 | bishop | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
weil uns die nicht lösbaren Integrale als exakte Lösung verkauft werden, sie es aber nicht sind, weil sie einfach nicht vollständig sind |
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| 09.09.2007, 16:02 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Funktion wie z.B. darf als mathematisch exakt gesehen werden. Was ist daran schlechter als z.B. sin(x)? |
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| 09.09.2007, 16:02 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wahrscheinlich doch eine philosophische Frage: Für dich ist eine Aufgabe nur dann gelöst mit einer exakten Lösung wenn man alles durch elementare Umformungen lösen kann und dann auch die Integrale vollständig auflöst??? So wie in der Schule: Aufgabe - Lösungsweg - meist ein Ergebnis
Sorry- musste sein. |
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