Globales Minimum ?

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09.09.2007, 15:42	Jaykob	Auf diesen Beitrag antworten »
Globales Minimum ? Ich soll die lokalen und globalen Extremstellen bestimmen und das Monotonieverhalten untersuchen für: $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-x}\cdot sin(x), \ \ \ \ x=]-\frac{\pi}{2},\pi[ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-x}\cdot sin(x)=\frac{1}{e^x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{'}(x)=-e^{-x} \cdot sin(x)+e^{-x} \cdot cos(x)=e^{-x}\cdot (-sin(x)+cos(x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{''}(x)=-e^{-x}\cdot (-sin(x)+cos(x))+e^{-x}\cdot (-cos(x)-sin(x))=e^{-x}\cdot sin(x)-e^{-x} \cdot cos(x)-e^{-x} \cdot cos(x) -e^{-x} \cdot -sin(x)=e^{-x} \cdot -2cos(x) \end{eqnarray}$ Notwendige Bedingung: $\begin{eqnarray} f'(x_{E})=0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} e^{-x} \cdot (-sin(x)+cos(x))=0 \end{eqnarray}$ Nach mehrfacher Umforumung: $\begin{eqnarray} 1=tan(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \rightarrow L=\left\{\frac{\pi}{4}+\pi \cdot k \| k \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray}$ Im Intervall $\begin{eqnarray} \left]-\frac{\pi}{2},\pi \right] \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x_E=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ Hinreichende Bedingung: $\begin{eqnarray} f''(x_{E})\neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{''}(x)\approx -0.64 \rightarrow Maximum \end{eqnarray}$ Motononie (über betrachtung der Steigung): $\begin{eqnarray} f^{'}(\frac{\pi}{2})\approx -0.20 \rightarrow fallend \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{'}(0)=1 \rightarrow steigend \end{eqnarray}$ f ist monoton steigend in $\begin{eqnarray} \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4} \right] \end{eqnarray}$ f ist monoton fallend in $\begin{eqnarray} \left[-\frac{\pi}{4},\pi\right] \end{eqnarray}$ Hochpunkt: $\begin{eqnarray} H_1(\frac{\pi}{4}\| \approx 0.322) \end{eqnarray}$ Betrachtung der Randwerte : Linker Rand: $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2} \notin \left]-\frac{\pi}{2},\pi\right] \ : \ \ \lim \limits_{x \searrow \frac{\pi}{2}} \ -e^{-x}\cdot sin(x) \approx -4,81 \end{eqnarray}$ Rechter Rand: $\begin{eqnarray} f(\pi)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Globales Maximum bei $\begin{eqnarray} x=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ Wäre $\begin{eqnarray} x=-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ im Intervall enhalten haetten wir bei $\begin{eqnarray} x=-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ein globales Minimum. So gibt ein Globales Minimum in dem Intervall und wie bennen ich dies ?
09.09.2007, 16:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Globales Minimum ? Mal eine kleine "optische Täuschung" Schön, dass Du alles mit latex geschrieben hast . Nur wo ist denn in der zweiten Zeile der Sinus geblieben? Zum lesen bin gerade zu müde... leider...
09.09.2007, 16:19	Jaykob	Auf diesen Beitrag antworten »
Argh sollte $\begin{eqnarray} \frac{sin(x)}{e^x} \end{eqnarray}$ heißen aber bin dann bei der in der Aufgabe gegebenen Form geblieben ... mag die Produktregel lieber :P Bleibt trotzdem die Frage ob ich ein globales Minimum bennen kann/muss ? (Der Aufgabenstellung entsprechend)
09.09.2007, 16:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich argumentiere jetzt nur mit dem Bilderl (da ich deine Rechnungen gerade nicht kontorllieren kann). Das ist aber keine nachzuamende Begründungsgrundlage. Globales Minimum, bitte vergleiche http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert Also musst Du $\begin{eqnarray} M_G(-\frac{\pi}{2} / f(\frac{\pi}{2})) \end{eqnarray}$ wählen
09.09.2007, 16:43	Jaykob	Auf diesen Beitrag antworten »
Hä ? Also vom Bild her ist $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ der Tiefste Punkt... aber der liegt gerade nicht im Intervall :/ also müsst praktisch minimal nach $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ das globale minimum liegen ... ??? confused
09.09.2007, 16:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, da ist mir das Minus abhanden gekommen. Ich hab noch zu kleine Augen. Das Intervall ist offen - sorry - dann gibt es kein glob. Minimum, denn Du findest, je näher Du an -pi/2 ran läufst immer noch einen kleinen Funktionswert. Gibt es ein Infimum (ein größte untere Schranke)?
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09.09.2007, 16:50	Jaykob	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar dann ist $\begin{eqnarray} x=-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ inf von f(x) auf den genangen Intervall aber es gibt kein globales Minimum.
09.09.2007, 17:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, aber das Inf ist der Wert an der Stelle x=-pi/2
09.09.2007, 17:09	Jaykob	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar , Danke

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