Paramater bei Integral

09.09.2007, 20:25

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Paramater bei Integral

Hi!

Ich hänge bei einer Aufgabe bei dieser Gleichung. Rausfinden möchte ich was a ist (Eigentlich weiß ich es schon und zwar a=2, aber ich will das irgendwie mathematisch "sauber" hinbekommen Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~x^3-a^2*x~dx =[\frac{1}{4}x^4-\frac{a^2}{2}x]=4 \end{eqnarray*}$

09.09.2007, 20:26

tigerbine

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RE: Paramater bei Integral
Was fehlt denn bei den [] Augenzwinkern

09.09.2007, 20:31

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Hi!

Meinst Du vielleicht die obere und untere Grenze ?
Ich wusste nicht, wie man die mit dem FormelEditor einzeichnet.
Jedenfalls ist die untere Grenze 0 und die obere Grenze a.

Vielleicht sollte ich noch sagen, dass die Funktion drei Nullstellen hat, und zwar bei 0,a und -a.

PS: Wenn sich jetzt vielleicht jemand wundert, warum diese Aufgabe so komisch ist, das ist nur ein Stück aus einer Aufgabe bei der ich gerade nicht weiterkomme Big Laugh

09.09.2007, 20:33

tmo

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diese gleichung hat keine reellen lösungen.

09.09.2007, 20:36

tigerbine

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Na so wie Du es auch bei dem Integral gemacht hast.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~(x^3-a^2x)~dx =[\frac{1}{4}x^4-\frac{a^2}{2}x^2]_{0}^{a}\stackrel{!}=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}a^4-\frac{1}{2}a^4\stackrel{!}=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \cdot a^4 \stackrel{!}= 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^4+16\stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

09.09.2007, 20:39

vektorraum

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Zitat:

Original von tmo
diese gleichung hat keine reellen lösungen.

Meinst du $\begin{eqnarray*} 0=x^3-ax \end{eqnarray*}$ ??? Wenn $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ kann es nach geeigneter Fallunterscheidung doch Nullstellen geben verwirrt

Edit: Alles klar, bezog sich wohl auf Tigerbines Polynom in a...

Vielleicht solltest du so was auch mal hinschreiben Augenzwinkern

09.09.2007, 20:39

tmo

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eine stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f(x) = a^2 * x \end{eqnarray*}$ ist jedoch $\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{a^2}{2} * x^2 \end{eqnarray*}$

09.09.2007, 20:48

tigerbine

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Ich habe das Editiert. Ich hatte die Stammfunktion nicht geprüft. Finger1

@ tmo:

Wenn Du so einen Fehler siehst (hier ja schon ganz am Anfang beim Fragesteller), nenn' ihn doch direkt.

Danke Wink

09.09.2007, 21:08

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ach mist. ja ich meinte natürlich x² bei der stammfunktion ....

Zitat:

Original von tigerbine
Na so wie Du es auch bei dem Integral gemacht hast.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~(x^3-a^2x)~dx =[\frac{1}{4}x^4-\frac{a^2}{2}x^2]_{0}^{a}\stackrel{!}=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}a^4-\frac{1}{2}a^4\stackrel{!}=4 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe schon den ersten Schritt nicht :/
Ersetzt man einfach x durch a ? Und wenn ja , warum und wieso "darf man das". Stehe gerade auf dem Schlauch ...

Den Rest von der Rechnung versteh ich aber. Man kann dann am Ende ganz "sauber mathematisch" herausfinden, das a=2 ist (Wurzel 4 von 16=2 Augenzwinkern

)

09.09.2007, 21:10

tigerbine

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http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptsatz_d...ntegralrechnung

Zitat:

Den Rest von der Rechnung versteh ich aber. Man kann dann am Ende ganz "sauber mathematisch" herausfinden, das a=2 ist (Wurzel 4 von 16=2 Augenzwinkern )

Wirklich

Denn es gibt kein reelles a, welches die Gleichung löst.

09.09.2007, 21:10

tmo

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es gilt doch allgemein:

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~f(x)~dx = [F(x)]_{b}^a = F(a) - F(b) \end{eqnarray*}$

in diesem fall ist b = 0 und halt F(0) = 0, weshalb man einfach das x durch ein a ersetzen kann.

und x = 2 ist nunmal nicht lösung dieser gleichung, denn es gibt keine reellen lösungen.

wenn da = -4 stehen würde, dann wäre x = 2 lösung.

09.09.2007, 21:23

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hm... vielleicht sollte ich einfach mal die ganze Aufgabe hinschreiben. Also mal wieder von Anfang an :

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = x^{3} - a^{2}x, a>0 \end{eqnarray*}$ .
Wie muss a gewählt werdem, damit die beiden Flächen , welche von fa und der x-Achse eingeschlossen werden , jeweils den Inhalt 4 erhalten?

So ich bin von folgender Überlegung ausgegangen :

1. Es muss drei Nullstellen geben.
2. Eine der Nullstellen muss 0 sein.
3. Die anderen zwei Nullstellen sind a und -a, denn wenn man die Funktion auflöst , erhält man die Linearfaktoren (x-a); (x+a)

Sodele ... und dann dachte ich mir als Lösung das, was ich schon in meinem ersten Beitrag geschrieben habe ...

09.09.2007, 21:25

tmo

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beachte, dass die funktion zwischen 0 und a unter der x-achse verläuft.

dann kommst du nämlich zu genau dem ansatz, den ich vermutet habe und dann kommt auch a = 2 raus.

09.09.2007, 21:25

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = x^{3} - a^{2}x, \quad a>0 \end{eqnarray*}$

1. Es kann höchstens 3 Nullstellen geben
2. Es gibt mindestens eine

=> Hängt das von der Wahl von ab ab?

09.09.2007, 21:36

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Zitat:

Original von tmo
beachte, dass die funktion zwischen 0 und a unter der x-achse verläuft.

dann kommst du nämlich zu genau dem ansatz, den ich vermutet habe und dann kommt auch a = 2 raus.

Der erste Punkt ist mir klar.
Doch mit deinem Post davor habe ich noch meine Schwierigkeiten. Erstmal, den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung kenn ich und ich verstehe auch, dass wenn b=0 ist , eben auch F(0)=0 gilt.Aber wieso kann man a durch x ersetzen, da hackts bei mir noch ....

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = x^{3} - a^{2}x, \quad a>0 \end{eqnarray*}$

1. Es kann höchstens 3 Nullstellen geben
2. Es gibt mindestens eine

=> Hängt das von der Wahl von ab ab?

Nein, es hängt von x ab. a ist einfach nur ein Faktor und verschiebt die Kurve (oder streckt, so genau weiß ichs auch nicht Big Laugh

)

Der Vorfaktor a ist aber auch gleichzeitig die Nullstelle, sowohl im positiven, als auch im negativen Bereich.

Irgendwie find ich keine gerade Linie ... Tränen

09.09.2007, 21:39

tmo

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es ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{a^2}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

demnach ist $\begin{eqnarray*} F(a) = \frac{a^4}{4} - \frac{a^2}{2}a^2 \end{eqnarray*}$

einfach x durch a ersetzen.

09.09.2007, 21:39

tigerbine

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Du bist mir ein Scherzekönig.

Bei einer Funktionenschar (der Index a) muss man sich schon einmal die Frage stellen, ob die Funktion für unterschiedliche a unterschiedliche Eigenschaften hat!

$\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = x^{3} - a^{2}x, \quad a>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{a}(x) =x\cdot (x^{2} - a^{2}) \end{eqnarray*}$

ich sag mal: dritte binomische Formel.

09.09.2007, 21:41

tmo

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das hat er doch schon alles gemacht verwirrt

nullstellen -a,0,a hat er doch schon angegeben und da a > 0 vorrausgesetzt wird, stimmt das auch.

09.09.2007, 21:46

tigerbine

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@tmo: wir zwei kreuzen uns heute Abend leider sehr hektisch. Zu schnell für mich. Mach Du die Aufgabe fertig ok? Augenzwinkern

Mein Kommentar bezog sich auf diesen Satz

Zitat:

Nein, es hängt von x ab. a ist einfach nur ein Faktor und verschiebt die Kurve (oder streckt, so genau weiß ichs auch nicht Big Laugh )

Und ich wollte nur darauf aufmerksam machen, dass man bei Polynom MGrad 3 nicht perse sagen kann, hat 3 Nullstellen. Das war hier mehr didaktisch auf 1. gemünzt.

Zitat:

So ich bin von folgender Überlegung ausgegangen :

1. Es muss drei Nullstellen geben.
2. Eine der Nullstellen muss 0 sein.
3. Die anderen zwei Nullstellen sind a und -a, denn wenn man die Funktion auflöst , erhält man die Linearfaktoren (x-a); (x+a)

09.09.2007, 21:50

tmo

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ok das ist nunmal das schicksal eines gut besuchten forums Augenzwinkern

@Vergiftet: welche fragen bleiben jetzt von deiner seite aus noch offen?

09.09.2007, 21:53

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Zitat:

Original von tmo
es ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{a^2}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

demnach ist $\begin{eqnarray*} F(a) = \frac{a^4}{4} - \frac{a^2}{2}a^2 \end{eqnarray*}$

einfach x durch a ersetzen.

ja aber wieso darf man das Big Laugh

Das wird mir immernoch nicht klar ...
Sagt man einfach x=a

und wie gehts dann eigentlich weiter, wie komme ich auf die a=2 ??

Ich weiß, ich stell mich etwas blöd an ... aber ich finde wirklich keinen roten Faden gerade ...

09.09.2007, 21:55

tmo

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wenn du z.b. $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 - 3x + 5 \end{eqnarray*}$ hast und dann f(3) berechnen willst, dann setzt du doch auch einfach für x die zahl 3 ein: $\begin{eqnarray*} f(3) = 3^2 - 3*3 + 5 = 5 \end{eqnarray*}$ .

entsprechend kannst du halt hier in F(x) einfach x durch a ersetzen wenn du F(a) berechnen willst.

aber erstmal musst du ja deinen falschen ansatz verbessern.
beachte: die funktion ist zwischen 0 und a negativ, also unter der x-achse.

09.09.2007, 21:58

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Ich würde sagen - auch wenn es sich etwas schwammig anhört - man setzt Betragsstriche vor dem Integral ? Dann wird der Flächeninhalt wieder positiv Big Laugh

Oder wäre das jetzt zu einfach ...

09.09.2007, 22:00

tmo

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wäre eine möglichkeit, aber betragsstriche musst du ja irgendwann eh auflösen.

also lässt du sie am besten gleich weg, indem du beachtest, dass das integral exakt der negative flächeninhalt ist, wenn die fläche komplett unter der x-achse ist, was hier der fall ist.

der ansatz lautet also?

09.09.2007, 22:14

Vergiftet

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Ich würde sagen, dass hier :

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~x^3-a^2*x~dx =[\frac{1}{4}x^4-\frac{a^2}{2}x^2]=[\frac{1}{4}a^4-\frac{a^4}{2}] \end{eqnarray*}$

So der Flächeninhalt muss 4 betragen, also ....

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{4}a^4-\frac{a^4}{2}]= 4 \end{eqnarray*}$

Sowas in der Richtung?

Ehrlich gesagt mach ich hier Sachen, die ich irgendwie garnicht nachvollziehen kann. Das die Funktion zwischen a und 0 negativ ist ... wieso stellt das denn überhaupt ein Problem dar ? Natürlich wird der Flächeninhalt dann auch negativ, aber im Unterricht habe ich gelernt, das wir dann wirklich einfach Betraggstriche setzen.

Das man a für x einsetzen kann habe ich jetzt wirklich total verstanden, ich hab mich da echt blöd eingestellt ....

09.09.2007, 22:16

tmo

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das integral ist doch gerade der negative flächeninhalt, also:

$\begin{eqnarray*} - \int ... = 4 \end{eqnarray*}$

wie gesagt: betragstriche würden es auch tun, aber du musst die ja irgendwann mal auflösen um die gleichung zu lösen. deswegen kannst du sie einfach gleich durch ein $\begin{eqnarray*} -1* ... \end{eqnarray*}$ ersetzen.

09.09.2007, 22:48

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hm ... ich hab jetzt viel ausprobiert, bekomm aber gerade garnichts hinn ...
ich glaube aber das ich langsam nachvollziehe was du meinst ...
Man muss also das komplette Integral mal -1 nehmen ?
Sowas :

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{4}a^4-\frac{a^4}{2}]= 4 \end{eqnarray*}$ |-*1

09.09.2007, 23:12

tigerbine

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tiger is back
Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = x^{3} - a^{2}x = x(x^2-a^2) = x(x+a)(x-a), \quad a>0 \end{eqnarray*}$

hat 3 reelle Nullstellen. Plot für a=1, a=3:

Da nur ungerade Exponenten auftreten, ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung. Es soll nun a so gewählt werden, dass die Flächen zwischen dem Graphen und der x-Achse je 4 FE betragen.

Mittels Kurvendiskussion kann man den Verlauf auch ohne plot zeigen. Aufgrund der Stetigkeit der Funktion beseitigt man VZ Probleme aber auch einfach durch Betragsstriche. Damit verschwinden die VZ, die hier für gerichtete Flächeninhalte stehen.

$\begin{eqnarray*} |\int_{-a}^0 ~f(x)~dx| = |\int_{0}^{a}~f(x)~dx|\stackrel{!} = 4 \end{eqnarray*}$

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