Anleitung Fundamentalmatrix

09.03.2005, 16:46	Stephdeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
Anleitung Fundamentalmatrix Die fundamentalmatrix ist ja die Matrix aus den Eigenvektoren. Das ganze ist ja auch relativ einfach, wenn die Lösungen des charakteristischen Polynoms der Matrix alle 1-fach reell sind. Aber wie bestimme ich die Eigenvektoren, wenn der Eigenwert ein doppelter eigenwert, oder ein Komplexer eigenwert oder beides wird? Für eine Anleitung wäre ich sehr dankbar, am liebsten an dem Beispiel einer 2x2 Matrix.
09.03.2005, 19:10	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anleitung Fundamentalmatrix Bei einem doppelten Eigenwert müsste das zugehörige GLS zwei unabhängige Eigenvektoren liefern. Beispiel ist die Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
09.03.2005, 20:18	Stephdeluxe	Auf diesen Beitrag antworten »
die beispielmatrix liefert den doppelten eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ setze ich den eigenwert ein, erhalte ich die matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das ergibt ja für $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ was für beliebige x, y lösbar ist, will heissen y u. x sind frei wählbar. oder? und nun?
10.03.2005, 09:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Man wählt für den 1. Eigenvektor x=1 und y=0 und für den 2. Eigenvektor x=0 und y=1. Die sind dann auch linear unabhängig.
10.03.2005, 09:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Beispiel $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zeigt, dass es aber nicht immer so klappt: Hier haben wir einen "doppelten" Eigenwert 1 (vornehm ausgedrückt: algebraische Vielfachheit 2). Der zugehörige Eigenraum ist aber nur eindimensional (geometrische Vielfachheit 1). Mit anderen Worten: Es existiert zum Eigenwert 1 nur ein linear unabhängiger Eigenvektor, z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . In diesem Fall ist A nicht diagonalisierbar, es existiert nur die Jordansche Normalform von A. Hier ist das gleich A selbst.

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