extremwertaufgaben

09.03.2005, 16:52

holger

extremwertaufgaben

hallo,

ich schlag mich grad mit solchen aufgaben rum - doch nun bin ich auf eine gestoßen, bei der ich nicht weiterkomme.

es is n gleichschenkliges dreieck gegeben und davon nur s - also länge der schenkel. und A ist ja dann abhängig von x also der grundseite.

ich will nun den funktionsterm aufstellen, mit dem ich diesen zusammenhang zw. der fläche und x angebe.

ich brauch ja erstmal ne hauptbedingung.

da hab ich an A= x*h / 2 gedacht. also x ist ja g

nun h hab ich nicht. und da wollte ich mit dem satz des pythagoras ran.

bsp, dass h² = s² - (x/2)² nehme.

dann hätte ich diese h in den HB eingesetzt und dort kam ich dann nicht weiter. ist dieser ansatzt in der form richtig?

gruß

holger

09.03.2005, 16:59

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RE: extremwertaufgaben
Sieht bisher alles gut aus. Freude

09.03.2005, 18:55

holger

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nun ja, wenn ich das dann so mache, ensteht:

A = x * sqrt (s² - (x/2)²) / 2

hab ich jetzt n denkfehler? ich bekomme die wurzel nu einfach nich weg.
am ende soll ja n schöner term da stehen.
vielleicht ne kleine anregung?`

gruß

holger

10.03.2005, 08:29

klarsoweit

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Wieso willst du unbedingt die Wurzel weghaben? Dein Term ist doch auch ganz schön.

10.03.2005, 08:59

mYthos

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Stichwort: Vereinfachung der Ansatzfunktion zu f(x)!
1. Konstante Faktoren weglassen
2. Das Quadrat der Funktion hat die gleichen Extremstellen.

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \cdot (s^2 - \frac{x^2}{4}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 s^2 - \frac{x^4}{4} \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

10.03.2005, 10:31

Egal

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Nun er wollte aber doch ursprünglich mal einen Zusammenhang zwischen der Fläche und der Länge der Grundseite. Ausserdem wenn du schon den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ weglässt und das Quadrat der gesuchten Funktion angibst dann doch gleich konsequent "verhübscht" und auch noch die Brüche weggemacht.

10.03.2005, 11:01

kikira

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wieso willst du unbedingt die Wurzel weghaben? Dein Term ist doch auch ganz schön.

Weil er so Produktregel anwenden müsste und im Zuge dessen auch noch Kettenregel, mit der Methode von Mythos aber, kann man das alles umgehen.
Aber ich würde: f²(x) hinschreiben...aber für die Extremwerte ist es total unerheblich, da beim Nullsetzen sowieso der Nenner wegfällt.

lg kiki

edit: bzw. kann man dann aus der Funktion wieder die Wurzel ziehen und dann sofort beim Nullsetzen wieder quadrieren. Also alles ghupft wie ghatscht, hihi.

10.03.2005, 13:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von mYthos
2. Das Quadrat der Funktion hat die gleichen Extremstellen.

Ich weiß nicht, ob das so stimmt. verwirrt

Nehmen wir mal f(x) = x und g(x) = (f(x))² = x²
Jetzt hat g die gleichen Extremstellen wie f ?!? verwirrt

10.03.2005, 13:36

mYthos

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Zitat:

Original von Egal
Nun er wollte aber doch ursprünglich mal einen Zusammenhang zwischen der Fläche und der Länge der Grundseite. Ausserdem wenn du schon den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ weglässt und das Quadrat der gesuchten Funktion angibst dann doch gleich konsequent "verhübscht" und auch noch die Brüche weggemacht.

Du weisst offenbar nicht genau, um was es bei der Vereinfachung geht.
Da wird nichts "verhübscht", sondern nur der Rechengang vereinfacht.

Das Viertel habe ich absichtlich gelassen, denn die Ableitung ist dann

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = 2s^2 \cdot x - x^3 \end{eqnarray*}$

Beim Nullsetzen wird dann noch x ausgeklammert und es ist

$\begin{eqnarray*} x^2 = 2s^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = s \cdot \sqrt2 \end{eqnarray*}$

Und zur anderen Frage:

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von mYthos
2. Das Quadrat der Funktion hat die gleichen Extremstellen.

Ich weiß nicht, ob das so stimmt. verwirrt

Nehmen wir mal f(x) = x und g(x) = (f(x))² = x²
Jetzt hat g die gleichen Extremstellen wie f ?!? verwirrt

Exakt so ist es!

Leite mal $\begin{eqnarray*} f^2(x) \end{eqnarray*}$ ab, es ergibt sich

.. = $\begin{eqnarray*} 2 \cdot f(x) \cdot f '(x) \end{eqnarray*}$ .. (Kettenregel)

Beim Nullsetzen ist wieder $\begin{eqnarray*} f '(x) = 0 \end{eqnarray*}$ !

Man muss allerdings - wie man sieht - von Nullstellen der Originalfunktion absehen!

Gr
mYthos

10.03.2005, 13:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von mYthos
Beim Nullsetzen ist wieder $\begin{eqnarray*} f '(x) = 0 \end{eqnarray*}$ !
Man muss allerdings - wie man sieht - von Nullstellen der Originalfunktion absehen!

Aha! Genau diese Randbemerkung fehlte mir. Diese Bedingung ist hier zwar erfüllt, sollte aber wenigstens mal erwähnt werden, sonst gerät man leicht in falsches Fahrwasser.

10.03.2005, 17:30

holger

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hui - ganz schön was getan smile

das ganze dann zum quadrat nehmen ist mir gestern im bett noch eingefallen Big Laugh

und dann komm ich auch genau so hin.
aber ich hätte ja A²=... sozusagen. und
beim funktionsterm steht ja dann. A²=f(x)= ...

muss ich dann am ende nicht mehr die wurzel ziehen? so wie ich das hier mitbekommen habe nicht.

jedenfalls danke schonmal smile

gruß

holger

12.03.2005, 10:44

holger

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hallo dochnochmal,

also ich komm doch irgendwie nicht hin.

ich bekomme am ende raus: (ich habe für s einfach mal 20 genommen, da s gegeben sein wird)

--> A²=f(x)=100x² - 1/16 x^4

wenn ich mir dann für x einfach ne zahl denke, nur um zu testen, ob der ausdruck das selbe aussagt, wie der erste, so komme ich mit dieser funktion hin. aber das scheint ja nicht richtig zu sein. was muss ich genau machen, nachdem ich das quadrat gezogen habe? ich habe dann doch noch die 4 im nenner, und warum ist die dann einfach weg?

bitte um hülfe smile

gruß

holger

12.03.2005, 12:43

klarsoweit

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Wie mYthos schon sagte, reicht es, diese Funktion zu betrachten:
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 s^2 - \frac{x^4}{4} \end{eqnarray*}$
Wenn man da für s 20 einsetzt, steht da:
$\begin{eqnarray*} f(x) = 400 \cdot x^2 s^2 - \frac{x^4}{4} \end{eqnarray*}$
Und jetzt weiß ich nicht, wo das Problem ist. verwirrt

12.03.2005, 13:56

holger

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ja, aber warum reicht das? mir ist nicht wirklich klar, warum ich das so stehen lassen kann, wenn es am ende ja was anderes aussagt, als die erste unumgestellte funktion.

halt A²=f(x) = x² * ( s²-x^2/4) / 4

sagt am ende, wenn ich für x immer ne gleiche zahl mir denke, das selbe aus wie

A²=f(x)=100x² - 1/16 x^4 (wenn s=20)

aber warum wird der nenner (die 4) weggelassen? die fkt. sagt doch dann was ganz anderes aus.

gruß

holger

12.03.2005, 14:18

kikira

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Du kannst nicht für s irgendeine Zahl einsetzen, sondern musst mit s rechnen.

Deine Funktion:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{x * \sqrt{s^2 - \frac{x^2}{4}}}{2} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du alle Zahlen, die man auf der rechten Seite herausheben kann, weglassen, weil sie konstant sind und beim Ableiten erhalten bleiben und wenn du die Ableitung 0 setzt - dann könntest du sofort durch die Zahlen dividieren und somit "fallen" die sowieso weg. Also kann man sie gleich weglassen. Dann kannst du aber nicht mehr A hinschreiben, weil das ja nicht mehr der wirkliche Flächeninhalt A ist, sondern musst eben f(x) hinschreiben.
Der Nenner gilt für den gesamten Ausdruck - also kann man ihn weglassen, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} f(x) =x * \sqrt{s^2 - \frac{x^2}{4}} \end{eqnarray*}$

Wenn du nun ableitest, müsstest du Produktregel anwenden, weil x * x

Wenn du nun aber das x unter die Wurzel bringst mit x² , dann steht da:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x^2 * (s^2 - \frac{x^2}{4})} \end{eqnarray*}$

Nun ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{s^2x^2 - \frac{x^4}{4}} \end{eqnarray*}$

Nun auf gemeinsamen Nenner bringen, denn dann kann man aus dem Nenner 4 die Wurzel ziehen, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{\frac{4s^2x^2 - x^4}{4})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{2} * \sqrt{4s^2x^2 - x^4} \end{eqnarray*}$

Nun ist 1/2 wieder ein konstanter Faktor und man kann das weglassen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{4s^2x^2 - x^4} \end{eqnarray*}$

Nun müsstest du Kettenregel anwenden, und das tu ich jetzt mal und dann quadrier ich die Funktion, sodass die Wurzel wegfällt und leite sie ab, damit du siehst, dass das komplett gleiche rauskommt:

Beim Anwenden der Kettenregel würde rauskommen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{4s^2x - 2x^3}{\sqrt{4s^2x^2 - x^4}} \end{eqnarray*}$

Wenn du das nun 0 setzt, kannst die Gleichung sofort mal dem Nenner machen und es bleibt nur noch der Zähler stehen

Nun differenzier ich, indem ich vorher die Funktion quadriere:

$\begin{eqnarray*} f^2(x) = 4s^2x^2 - x^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x) = 8s^2x - 4x^3 \end{eqnarray*}$

Nun 0 setzen und durch 2 dividieren und du siehst, dass nun die komplett gleiche Zeile hier steht wie wenn ich auf umständliche Art mit der Kettenregel abgeleitet hätte.

Das geht aber NUR bei Extremwertaufgaben und nur deswegen, weil du die Ableitung danach 0 setzt.

Wenn du die 2. Ableitung machen wolltest, dann müsstest du die Ausgangsfunktion nehmen und nix weglassen.

lg kiki

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