Parallelebene gesucht, Strahlensatz

10.03.2005, 12:29	fescue	Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelebene gesucht, Strahlensatz Die Pyramide ABCDS wird von einer zur Ebene E parallelen Ebene H geschnitten, so dass das Volumen des dadurch entstehenden Pyramidenstumpfes 9,5 FE beträgt. Stellen Sie für die Ebene H eine Gleichung in parameterfreier Form auf! E: -x+2y+2z = 5 A (1/2/1), B (3/1/3), C (5/3/2), D (3/4/0), S (1.5/5.5/4.5) Abstand des Quadrates ABCD zu S ist 4,5 LE. (editiert) Eine Seite des Quadrates ist 3 LE lang. Volumen von der Pyramide ist 13,5 FE. ( Fußpunkt der Höhe ist F (3/2.5/1.5) ) Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \vec{n_H} = \vec{n_E} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H: -x+2y+2z=d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d= \vec{n} \vec{A')} \end{eqnarray}$ Koordinate von $\begin{eqnarray} \vec{A'}: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{A'} = \vec{A} + r \vec{AS} \end{eqnarray*}$ nun fehlt mir jedoch die entscheidende Gleichung, wahrscheinlich muss mit dem Strahlensatz gerechnet werden.
10.03.2005, 14:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Volumen der Restpyramide, welche die Höhe $\begin{eqnarray} h_1 \end{eqnarray}$ hat und zur ganzen Pyramide (Höhe h) ähnlich ist, beträgt 13,5 - 9,5 = 4 E³. Nun verhalten sich die Volumina wie die Kuben der entsprechenden Seiten (bzw. Höhen). $\begin{eqnarray} 13,5 : 4 = h^3 : {h_1}^3 \end{eqnarray}$ h ist der Abstand der Spitze S (1,5 \| 5,5 \| 4,5) zur Basisebene -x + 2y + 2z - 5 = 0. Mit Hesse kommt .. h = 4,5 E Somit ist $\begin{eqnarray} {h_1}^3 = 27 \end{eqnarray}$ E³ bzw. $\begin{eqnarray} h_1 = 3 \end{eqnarray}$ E. Von S ist daher die Länge 3 auf dem Normalvektor in Richtung Fusspunkt aufzutragen, d.h $\begin{eqnarray} 3 \cdot \vec{n_0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n_0} = \frac{1}{3} \cdot (1;-2;-2) \end{eqnarray}$ das ergibt $\begin{eqnarray} F_1(2,5 ; 3,5 ; 2,5) \end{eqnarray}$ . Durch diesen Punkt muss die zu E parallele Ebene H gehen. Gr mYthos
10.03.2005, 16:07	fescue	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, also doch so simple. das mit den 4,5 der höhe stimmt, hatte ich nur falsch abgeschrieben, sorry. vielen dank
19.03.2005, 13:51	fescue	Auf diesen Beitrag antworten »
ich steh grad schon wieder auffem schlauch bei der aufgabe, wie kommst du von höhe = 4.5 auf h^3 = 27 ??
19.03.2005, 14:15	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Strahlensatz auflöst, steht da: 27/2 * h1³ = 4h³ für h = 9/2 einsetzen und dann kommt man auf: h1 = 27 lg kiki
19.03.2005, 14:24	fescue	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, da blick ich nich durch. wie löst du den satz auf?
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19.03.2005, 14:35	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Außenglied * Außenglied = Innenglied * Innenglied lg kiki edit: oder falls du das meinst: $\begin{eqnarray} \frac{27h_1^3}{2} = 4h^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{27h_1^3}{2} = \frac{4 9^3}{2^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_1^3 = \frac{2^2 * 3^6 * 2}{3^3 * 2^3} \end{eqnarray}$ Nun kürzen: $\begin{eqnarray} h_1^3= 3^3 \end{eqnarray*}$ lg kiki
19.03.2005, 14:58	fescue	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank, nun hab ich das verstanden. die höhe ist h^3 weil es sich imprinzip um nen volumen handelt, richtig ?

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