Begrenzte zahlenfolge: Nachweis

10.09.2007, 19:59

Martin22

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Begrenzte zahlenfolge: Nachweis

hi,
ich bin gerade am rätseln bei folgenden Aufgaben in unserem Lehrbuch:

Weisen sie nach, ob die Funktion Schranken besitzt:

1. $\begin{eqnarray*} (a_n)=(\frac{1}{\sqrt{n}}+a) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} (a_n)=(\frac{n-1}{n}) \end{eqnarray*}$

wie mach ich das?

10.09.2007, 20:02

Dual Space

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RE: Begrenzte zahlenfolge: Nachweis

Zitat:

Original von Martin22
1. $\begin{eqnarray*} (a_n)=(\frac{1}{\sqrt{n}}+a) \end{eqnarray*}$

Bist du sicher, dass da auf der rechten Seite ein a steht?

10.09.2007, 20:08

tigerbine

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RE: Begrenzte zahlenfolge: Nachweis
Bei der Ersten. Was soll a sein? denkbar ungünstige Bezeichnung hier.

Zur Zweiten:

n soll eine natürliche Zahl sein (?). Wir schreiben $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und stellen ein paar Folgenglieder auf:

$\begin{eqnarray*} a_{1} = \frac{1-1}{1} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2} = \frac{2-1}{2} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{3} = \frac{3-1}{3} =\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Das scheint also immer größer zu werden (Beweis => strenge Monotonie). Schranken sind aber viel weiter gefaßt. Selbst wenn wir 0 als natrülich Zahl zulassen, wird immer gelten:

$\begin{eqnarray*} a_n > -10 \end{eqnarray*}$

Warum?

$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \stackrel{!}> -10 \end{eqnarray*}$ "! heißt soll gelten"

Das formst Du mal um und prüfst, ob Du auf eine Bekannte wahre Aussage kommst. Bei der oberen Schranke steht uns das Wachstum zunächst im Weg. Wir wissen nicht wie stark die Folge wächst (konvergiert sie oder nciht?).

Versuche mal dein Glück mit +10. Findest Du auch dann auch die kleinste Schranke?

10.09.2007, 20:13

joeehhii

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Wieso gilt denn immer $\begin{eqnarray*} an > -10 \end{eqnarray*}$ ?

MfG

10.09.2007, 20:17

martin22

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also es ist kein a...sorry war ein Tippfehler. Also beim umformen weis ich eben nicht so richtig weiter. Geht das ohne einen Wert für n einzusetzen? Denn so haben wir es in der Schule gemacht.

Für die untere Schranke muss ich auf auf folgende Bedingung kommen:

an >= SU also in deinem Fall -10 aber wie weiter?

10.09.2007, 20:20

tigerbine

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Ja das sagte ich schon. Bis Du auf eine wahre Aussage stößt umformen. Diese Aussage ist $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da n eine natürliche Zahl ist. Es geht ohne, dass Du n konkret kennst.

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10.09.2007, 20:24

martin22

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kannst du das bitte mal konkret am beispiel erklären?

10.09.2007, 20:27

tigerbine

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Können schon. Aber Du sollst hier doch was machen. Ich untere Schranke, du obere?

Deal?

10.09.2007, 20:31

martin22

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Ich weis ja nicht, ob ichs überhaupt richtig angehe...

bei der unteren habe ich n>=-10

stimmt das so schon oder muss ich auf 0 kommen?

es geht nur ums Prinzip zum Üüben habe ich noch genug andere Aufgaben zu lößen s

10.09.2007, 20:39

tigerbine

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Wir woll prüfen, ob -10 eine untere Schranke ist. Wir wissen es gilt, denn durch 0 dürfen wir nicht teilen, dass hatte ich oben nicht beachtet:

$\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Da nun eine Behauptung am Anfang steht, man aber solche Beweise oft von dieser Seite angeht, kennzeichne ich das mit einem !

$\begin{eqnarray*} a_n \stackrel{!}> -10 \quad \text{für alle } n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Schau'n wir mal.

$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \stackrel{!}> -10 \end{eqnarray*}$ (*)

$\begin{eqnarray*} n-1 \stackrel{!}> -10n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 11n \stackrel{!}> 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \stackrel{!}> \frac{1}{11} \end{eqnarray*}$

wir haben lauter äquivalente Umformungen gemacht. Liest man nun rückwärts, so steht da dass für alle n > 1/11 (das sind alle natürlichen Zahlen) unsere Behauptung (*) erfüllt ist und somit ist -10 eine untere Schranke.

10.09.2007, 21:17

martin22

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ok danke ich habe schon einige Aufgaben gelöst. nun hänge ich hier:

$\begin{eqnarray*} (an)=(-1)^{n}*0.1^{n} \end{eqnarray*}$

als Annahme für die Untere Schranke -5. Nur wie bekomme ich das n aus dem Exponenten?

10.09.2007, 21:30

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n\cdot \frac{1}{10^n} \end{eqnarray*}$

1. Die Folge ist alternierdend

2. Ein paar Werte

$\begin{eqnarray*} a_1 = - \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_2 = +\frac{1}{100} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_3 = - \frac{1}{1000} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_4 = +\frac{1}{10000} \end{eqnarray*}$

Nun machen wir eine Fallunterscheidung. Für gerades n ist a_n offensichtlich >0 >-5. Sei n also nun ungerade u:

$\begin{eqnarray*} a_u = - \frac{1}{10^u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{10^u} \stackrel{!} >-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10^u} \stackrel{!} <5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \stackrel{!} < 5 \cdot 10^u \end{eqnarray*}$

Wahr, da $\begin{eqnarray*} u \geq 1 \end{eqnarray*}$

10.09.2007, 21:39

martin22

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also kann kann ich den letzten Schritt einfach so stehen lassen? Wie kann ich denn daraus erschließen, dass U>1 ist?

10.09.2007, 21:46

tigerbine

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Falsche Logikkette. Wir wollen doch auf eine Wahre Aussage stoßen. Wir wissen, dass u (ungerade natürliche Zahl) >=1 ist.

Mit diesem Wissen gilt die letzte Ungleichung und damit die Behauptung.

10.09.2007, 22:29

Martin22

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noch ne Frage zur 1. Aufgabe siehe 1. Post das a muss eine 1 sein.

Ich habe das für die Untere bergrenzung gemacht aber irgendwie geht es nicht so ganz auf:

untere begrenzung Annahme -30

$\begin{eqnarray*} (a_{n})=(\frac{1}{\sqrt{n}}+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1>-31*\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 32>\sqrt{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1024>n \end{eqnarray*}$

was mach ich falsch

10.09.2007, 22:37

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}+1 > -30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} > -31 \end{eqnarray*}$

Hier sind wir eigentlich schon fertig, denn es gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} > 0 > -31 \end{eqnarray*}$

Deine Rechnung kann ich schon im ersten Schritt nicht nachvollziehen.

10.09.2007, 22:51

Martin22

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ich habe halt noch die Wurzel aus n mit nach rechts genommen. Un die 31 nach links. und anchluiesend ins Quatrat genommen.

10.09.2007, 23:13

Martin22

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oder bin ich an die total falsch rangegangen?

10.09.2007, 23:18

tigerbine

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So wie Du es beschreibt hast Du dann aber bin Formel vergessen

10.09.2007, 23:29

Airblader

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Hauptsächlich ist der Schritt falsch:

$\begin{eqnarray*} 1 > -31 \cdot \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 32 > \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Aus dem Produkt raus kannst du nicht einfach +31 machen smile

smile

air

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