hausdorffraum, einpunktige mengen abgeschlossen

11.09.2007, 14:00	fdsfsdf	Auf diesen Beitrag antworten »
hausdorffraum, einpunktige mengen abgeschlossen Hallo, ich soll zeigen, dass in einem hausdorffraum einpunktige Mengen abgeschlossen sind. Alles, was ich bisher weiß ist: - abgeschlossene Mengen sind die Komplemente von offenen Mengen - die beliebige Vereinigung und der endliche schnitt von offenen Mengen ist offen - der beliebige Schnitt und die endliche vereinigung von abgeschlossenen mengen ist abgeschlossen
11.09.2007, 14:10	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ein Hausdorff-Raum und $\begin{eqnarray} x\in H \end{eqnarray}$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} \{x\} \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist, was äquivalent dazu ist, dass $\begin{eqnarray} H\setminus\{x\} \end{eqnarray}$ offen ist. Sei $\begin{eqnarray} z\in H\setminus\{x\} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} z\neq x \end{eqnarray}$ . Wende nun das Trennungsaxiom auf $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ an. Was folgt daraus?
11.09.2007, 14:38	srfsdfd	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bekommt man Umgebungen $\begin{eqnarray} U_1\ U_2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die disjunkt sind. Nach definition von Umgebung gibt es also eine Menge $\begin{eqnarray} U_1' \end{eqnarray}$ , welche offen ist, $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ enthält und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht enthält Wenn man das jetzt für alle z macht, die in $\begin{eqnarray} H\setminus\{x\} \end{eqnarray}$ liegen bekommt man viele offene Mengen $\begin{eqnarray} U_i' \end{eqnarray}$ , die wieder alle offen sind und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht enthalten. Wenn man diese vereinigt erhält man $\begin{eqnarray} H\setminus\{x\} \end{eqnarray}$ , was deshalb wieder offen sein muss. Stimmt das so?
11.09.2007, 15:30	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau.
11.09.2007, 16:21	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch kürzer, wenn man den Satz kennt, der besagt, dass eine Menge U in einem topologischen Raum genau dann offen ist, wenn jeder Punkt der Menge U eine (offene) Umgebung hat, die vollständig in U enthalten ist.

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