häufungspunkt grenzwert einer teilfolge

11.09.2007, 20:14	fffffffffffffff	Auf diesen Beitrag antworten »
häufungspunkt grenzwert einer teilfolge zz: Sei X ein topologischer raum, welcher a1 erfüllt. dann ist jeder häufungspunkt einer folge x_n in X der grenzwert einer konvergenten teilfolge. a1: ein top. raum erfüllt a1 falls jeder punkt x aus X eine abzählbare umgebungsbasis hat sei x häufungspunkt, d.h jede Umgebung von x enthält unendlich viele Folgenglieder. z.z: zu jeder umgebung von x existiert ein natürliches n', so dass für alle n>n' gilt x_n (x_n ist jetzt eine geeignete teilfolge) ist in der Umgebung. Meine Idee für dei Teilfolge: B_i i=1,2,...... ist die abzählbare Umgebungsbasis Man nimmt die Ursprungsfolge und schaut ob das ersteFolgenglied in B_1 liegt. Wenn ja dann kommt es in díe Teilfolge. Als nächstes schaut man ob das zweite Folgenglied in B_1 und B_2 liegt, wenn ja dann kommt es ebenfalls in die Teilfolge usw. Hat man nun eine beliebige Umgebung U so umfasst diese ein B_s (es existiert ein natürliches s) Für die Teilfolge gilt nun, dass alle Folgenglieder ab einem bestimmten Folgenglied in B_s und somit auch in U liegen. Passt das so?
11.09.2007, 20:41	Soliton	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon, wobei der Teil, wo Du die konvergente Teilfolge konstruierst, der entscheidende ist, und Du den etwas salopp hinschreibst. Aber die Idee stimmt. Ich würde vielleicht noch erklären, was denn passiert, wenn das erste, zweite usw. Folgeglied gerade NICHT in der Umgebung liegt... und wieso man immer, aber auch wirklich immer ad infinitum dann doch noch... Wie gesagt, Dir ist das sicher klar, ich würd's nur ausgerechnet an dieser Stelle etwas deutlicher schreiben, weil es um mehr in der Aufgabe nicht geht.
11.09.2007, 21:11	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: häufungspunkt grenzwert einer teilfolge Ja, Soliton möchte ich da zustimmen. Deine Beweisidee ist wohl richtig, nur musst du sie noch stringenter formulieren (wichtig: eindeutige Bezeichnungen und klare Beweisstruktur). Für die Definition deiner Folge bietet sich eine induktive Definition an: du definierst die ersten Folgenglieder ("Induktionsanfang") und gibst noch an, wie das nächste Folgenglied bestimmt wird, wenn du bereits endlich viele hast ("Induktionsschritt"). Grüße Abakus
11.09.2007, 21:18	ffffffffff	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das Folgenglíed nicht drin liegt lässt man es in der Teilfolge weg. Jetzt muss ich noch begründen warum man aber immer ein weiteres Folgengleid findet welches in B_1, B_2,...,B_i liegt ( für ein festes i) also in dem Schnitt von endlich vielen offenen Mengen, die x enthalten. Dieser Schnitt ist wieder eine offene Menge, die x enthält also eine Umgebung. Und in jeder Umgebung sind nach Vorraussetzung unendlioch viele Folgengleider enthalten.
11.09.2007, 21:34	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre die Idee für die induktive Definition dann, ja. Nun solltest du versuchen, den Beweis noch formeller aufzuschreiben. Grüße Abakus

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