Teilbarkeitsvermutung [war:Theorie?]

11.09.2007, 22:32

NiSta

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Teilbarkeitsvermutung [war:Theorie?]

Ich bin zufällig im auf eine selbst entwickelte Theorie gestossen. ICh zeigte sie meinem Mathelehrer der sagte mir sie käme ihm bekannt vor also das ich nicht der erste wäre er war sich aber nicht sicher und kann sich nicht am Namen der Theorie erinnern. Kann mir jemand vileicht helfen und den Namen dieser Theorie sagen falls es das gibt.

Meine Theorie:

mann nimmt eine eine negative Zahl die mehr als 1 Ziffer hat. Addiert eine positive Zahl dazu mit gleich vielen Ziffern und den gleichen (Ziffern) und rechne eine Quersumme dieses Produkts aus. Und das Resultat ist immer 9.

z.B.

-175+715= 540, Quersumme = 9

ICh danke euch shcon im Voraus.

11.09.2007, 23:13

Tobias

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Ich weiß nicht ob es einen namentlich benannten Satz gibt, der deiner Theorie entspricht.

Was ich aber weiß ist, dass sich deine Theorie beweisen lässt. Hast du einen Beweis?

11.09.2007, 23:22

Airblader

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Das ist unsauber formuliert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ein "Produkt" ist im mathematischen Sinne etwas spezielles. Du meinst eher das "Resultat" oder "Ergebnis".

Ansonsten etwas "Kritik":

Es ist jedes $\begin{eqnarray*} -a_0a_1\ldots a_n + a_0a_1\ldots a_n = 0 \end{eqnarray*}$ ein Gegenbeispiel. Das solltest du also ausschließen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Genauso ausschließen, da es aufs selbe rauskommt, musst du $\begin{eqnarray*} a_0 = a_1 = \cdots = a_n \end{eqnarray*}$ . Natürlich darf eine Zahl doppelt oder mehrfach vorkommen, aber es dürfen nicht alle Ziffern gleich sein.

Weiter:

$\begin{eqnarray*} -91 + 19 = -72 \end{eqnarray*}$ . Davon existiert keine Quersumme (da diese nur für natürliche Zahlen existieren und $\begin{eqnarray*} -72 \not \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ).
Du meinst also evtl. den Betrag der Summe.

Nun noch $\begin{eqnarray*} |-321 + 123| = |-198| = 198 \end{eqnarray*}$ .
Du meinst also höchstens die iterierte Quersumme, dann wird auch hier ein Schuh draus.

Wenn erwünscht, kann ich versuchen, den Satz "ordentlich" zu formulieren: Ich bin mir aber sicher, dass es solch einen schon geben wird, kenne ihn aber nicht direkt.

air

11.09.2007, 23:30

NiSta

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Wenn erwünscht, kann ich versuchen, den Satz "ordentlich" zu formulieren: Ich bin mir aber sicher, dass es solch einen schon geben wird, kenne ihn aber nicht direkt.

Ja gerne das währe super :-))))))

11.09.2007, 23:32

Tobias

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Machen wir mal einen Schuh draus:

Gegeben sei eine Zahl $\begin{eqnarray*} (x_n, x_{n-1}, \ldots, x_0)_{10} \end{eqnarray*}$ in Dezimaldarstellung und eine beliebige bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} \sigma: \{0, \ldots, n\} \to \{0, \ldots, n\} \end{eqnarray*}$ (Permutation).

Die Differenz $\begin{eqnarray*} (x_{n}, \ldots, x_{0})_{10} - (x_{\sigma(n)}, \ldots, x_{\sigma(0)})_{10} \end{eqnarray*}$ ist stets durch 9 teilbar, d.h. auch die Quersumme ist durch 9 teilbar.

Und der Beweis:

Wegen $\begin{eqnarray*} 10 \equiv 1 \mod 9 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} 10^n \equiv 1 \mod 9 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} 10^i - 10^j \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 9 \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} 10^i - 10^j \end{eqnarray*}$ stets durch 9 teilbar.

Sei $\begin{eqnarray*} i = \sigma(j_i) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (x_{n}, \ldots, x_{0})_{10} - (x_{\sigma(n)}, \ldots, x_{\sigma(0)})_{10} = \sum_{i=0}^{n}x_i10^i - \sum_{i=0}^{n}x_{\sigma(i)}10^i \end{eqnarray*}$

Nun sortieren wir die Summanden um:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n}(x_i10^i - x_{\sigma(j_i)}10^{j_i}) = \sum_{i=0}^{n}x_i(10^i - 10^{j_i}) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} 10^i - 10^{j_i} \end{eqnarray*}$ stets durch 9 teilbar ist, ist auch die gesamte Summe durch 9 teilbar.

Edit: Beweis gepimpt. (Dank geht an Lazarus)

11.09.2007, 23:37

Airblader

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Wahrscheinlich ist das viel zu kompliziert und ausführlich, aber mal schauen Big Laugh

Big Laugh

Bin auch sehr müde, darum z.T. etwas formalisiert. Ich geh nun erstmal schlafen. Bis morgen *schnarch*

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} m \geq 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq n \leq m \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi: [0,m] \rightarrow [0,m] \end{eqnarray*}$ eine Abbildung, so dass $\begin{eqnarray*} (a_{\varphi(n)}) \end{eqnarray*}$ eine Umordnung von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} \exists n_1 \in [0,m] ~:~ \varphi(n_1) \neq n_1 \end{eqnarray*}$ .
Ferner soll $\begin{eqnarray*} \exists z_1,z_2 \in [0,m] ~:~ a_{z_1} \neq a_{z_2} \end{eqnarray*}$ gelten.

Nun sei

$\begin{eqnarray*} c := -\sum_{k=0}^m (10^k \cdot a_k) + \sum_{k=0}^m (10^k \cdot a_{\varphi(k)}) \end{eqnarray*}$

Dann gilt stets: $\begin{eqnarray*} \operatorname{qs}(|c|,9) = 9 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \operatorname{qs}(k,t) \end{eqnarray*}$ für die iterierte Quersumme steht.

Achja:
Anstatt - ...1... + ...2... könnte man auch ...2... - ...1... schreiben. Bringt ja keinerlei Nachteile, im Gegenteil. Aber ich habe mich mal an dich gehalten.

@Tobias
Imho schließt du so nicht jeden Fall aus, den du ausschließen solltest (z.B. $\begin{eqnarray*} \sigma(z) = z \end{eqnarray*}$ )
air

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11.09.2007, 23:39

Tobias

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Warum sollte ich den ausschließen? 0 ist durch 9 teilbar.

12.09.2007, 00:26

Lazarus

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@Tobias eine (Schönheits+Kürze)frage: Wieso Induktion und nicht der kleine Fermat ?

12.09.2007, 00:34

Tobias

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Vielleicht kannst du ja mal kurz zeigen, wie man damit meinen Beweis verschönern/kürzen kann. Big Laugh

Big Laugh

12.09.2007, 00:40

Lazarus

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Ach Quatsch! Ist ja garnicht Fermat Hammer

Hammer

Es gilt allgemein $\begin{eqnarray*} 10^m\equiv 1^m=1 \pmod 9 \end{eqnarray*}$ .

12.09.2007, 00:42

Tobias

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Ja, gerade das habe ich mit Induktion bewiesen. Wink

Wink

12.09.2007, 00:50

Lazarus

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Das hab ich gesehn und wollte deshalb ja nur anmerken, das eine Zeile Modulo kürzer ist als minimum fünf Zeilen Induktion.

12.09.2007, 01:23

NiSta

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Ok ich danke euch vielmals für die vielen Infos gibt es jemanden der mir eine Formel zusammenfassen kann und/oder den Namen der Theorie mitteilen kann?

12.09.2007, 02:02

Lazarus

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Es tut mir leid dich enttäuschen zu müssen, aber so überragend ist die Erkenntnis nicht.
Zumal deine Aussage "Das Resultat ist immer 9" schlicht falsch ist.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} -123456789+987654321 = 864197532 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Q(864197532)=45 \end{eqnarray*}$

Vielmehr gilt das was Tobias ja bewiesen hat: Die Qsumme ist immer durch 9 teilbar.

Diese Aussage folgt allerdings ziemlich direkt aus den grundlegenden Teilbarkeitsregeln.

Eine Zahl ist immer dann durch 9 teilbar wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Bildet man nun aus einer beliebigen Ziffernfolge verschiedene Zahlen so ändert sich die Quersumme nicht. Bildet man nun die Quersumme der Differenz der beiden Zahlen so kann man auch die Differenz der Quersummen der beiden Zahlen betrachten. Diese sind gleich, somit ist die Differenz 0, und 0 lässt sich von jeder Zahl teilen.

12.09.2007, 07:13

Airblader

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Zitat:

Original von Tobias
Warum sollte ich den ausschließen? 0 ist durch 9 teilbar.

Okay, ich habe nicht ganz gelesen. Deine Aussage ist: Das Ergebnis ist durch 9 teilbar.
Das, was NiSta wollte, ist, dass die Quersumme 9 ergibt. Das ist ein feiner Unterschied, denn $\begin{eqnarray*} \text{Quersumme }9 \Rightarrow \text{durch }9\text{ teilbar} \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} \text{Quersumme }9 \Leftarrow \text{durch }9\text{ teilbar} \end{eqnarray*}$ (eben grade bei 0).

@Lazarus
Und wenn wir weiter über "iterierte Quersumme der Zahl (im Betrag) = 9" reden (darum ging es NiSta doch)?
Dann sichert die Tatsache, dass die Differenz der Quersummen der Ausgangszahlen gleich 0 ist, nicht, dass die Quersumme der Zahl (bei mir |c|) 9 oder eine Zahl mit der (weiter) iterierten Quersumme 9 ist, wenn ich das grad richtig sehe verwirrt

verwirrt

12.09.2007, 09:17

NiSta

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JA stimmt shcon aber wenn man von dieser Quersumme wieder die Quwersime nimmt bekommt man schluss endlich wieder 9. Ich meine wenn man soviel mal die Quersumme der Zahl nimmt bis es 9 gibt dan geht das dann auch. ABer was noch wichtiger ist gibt es jemanden der den Namen dieser Theorie kennt?

12.09.2007, 11:29

Tobias

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Zitat:

Original von Airblader
Okay, ich habe nicht ganz gelesen. Deine Aussage ist: Das Ergebnis ist durch 9 teilbar.
Das, was NiSta wollte, ist, dass die Quersumme 9 ergibt. Das ist ein feiner Unterschied, denn $\begin{eqnarray*} \text{Quersumme }9 \Rightarrow \text{durch }9\text{ teilbar} \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} \text{Quersumme }9 \Leftarrow \text{durch }9\text{ teilbar} \end{eqnarray*}$

Ja aber gerade das haben wir durch ein Gegenbeispiel ja schon lange widerlegt. Die Aussage mit der iterierten Quersumme folgt ja unmittelbar aus meiner Formulierung:

Zahl durch 9 teilbar <=> Quersumme durch 9 teilbar <=> Quersumme der Quersumme durch 9 teilbar <=> Quersumme der Quersumme der Quersumme durch 9 teilbar <=> ...

Da für jede mehrstellige Zahl die Quersumme kleiner ist, terminiert diese Kette irgendwann mit 9.

13.09.2007, 16:55

NiSta

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Ok ich danke euch vielmals für all diese Resultate kann mir aber jemand daraus eine farmel bilden die ich meinem Lehrer zeigen könnte?

13.09.2007, 17:09

Airblader

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Warum Formel? Mathematik besteht nicht nur aus Quantoren und Zeichen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Worte sind es, die vieles erst verständlich machen smile

smile

air

13.09.2007, 17:14

NiSta

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Ja schon aber ich muss es Irgend wie Mathematisch darstellen und es meinem Lehrer zeigen können und da ich kein Mathematiker bin wollt ich hilfe wie würdet ihr das darstellen?

14.09.2007, 11:41

Tobias

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Was willst du denn jetzt noch anders dargestellt haben?

Meiner Meinung nach ist hier nicht die "iterierte Quersumme" die interessante Aussage sondern die Teilbarkeit durch 9.

Durch den Satz
9 teilt x genau dann, wenn 9 die Quersumme vom x teilt.
ist dann auch gesichert, dass die iterierte Quersumme bei dir immer 9 ist.

Die Teilbarkeitsaussage habe ich schon mathematisch formuliert.

14.09.2007, 23:10

NiSta

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ICh danke euch vielmals jetzt ists mir klar damit ist für mich dieses Thema fertig.

DANKE!!!

mfg

NiSta

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