Grenzwertaufgabe (L'Hospital)

12.09.2007, 00:55

destynate

Grenzwertaufgabe (L'Hospital)

Hi Jungs!

Ich habe hier ne Aufgabe, die mir Probleme bereitet. Es geht dabei um das Ableiten. Folgendes:

Man bestimme des Grenzwert, falls er existiert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{3-3*cos(x)}{x²} \end{eqnarray*}$

Aus dem Zähler kommt beim einsetzen von 0 genau 0 raus Augenzwinkern

Im Nenner das selbe. Also ist das L'H Prinzip erfüllt!

Nun geht es ans ableiten, und ich hänge am $\begin{eqnarray*} 3*cos(x) \end{eqnarray*}$

Wie leite ich das genau ab?

Meine Lösung sah folgendermaßen aus..

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1*cos(x)+3*(-sin(x))}{2x} \end{eqnarray*}$

das ist aber definitiv falsch! Augenzwinkern

12.09.2007, 01:00

Lazarus

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Die Ableitung vom Cosinus ist "-Sinus".

Also $\begin{eqnarray*} (\cos(x))'=-\sin(x) \end{eqnarray*}$

Der Konstante Faktor -3 wird dabei einfach mitgeschleift.

L'Hospital lautet unter den nötigen Vorraussetzungen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{p'(x)}{q'(x)} \end{eqnarray*}$

Der rest ist doch nur stures einsetzen .. wieso tust du das nicht einfach ?

12.09.2007, 01:46

destynate

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ja klar das mit dem Einsetzen ist ja dann der nächste Schritt und der ist auch soweit klar!

Es ging mir um die ableitung vom Zähler!

Also ist die Ableitung vom Zähler

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -3*(-sin(x)) \end{eqnarray*}$

richtig?

12.09.2007, 01:53

Lazarus

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Ja. Dabei hebt sich das - natürlich auf, wenn man weiter vereinfacht.

12.09.2007, 08:47

cleany

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und denk an die $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ Situation ...

12.09.2007, 09:36

destynate

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jo das is klar! smile

aber ich check grad irgendwie voll nicht warum die lösung so lautet oO

$\begin{eqnarray*} 3*cos(x) \end{eqnarray*}$ ist doch eigentlich ein Produkt! Wieso setzt man da nicht die produktregel an?!

12.09.2007, 09:41

klarsoweit

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Meinetwegen kannst du da die Produktregel anwenden.

Zuständig ist aber eigentlich die Faktorregel. Augenzwinkern

12.09.2007, 09:42

Gnu

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Dann wäre cos(x)=1*cos(x) ja auch ein Produkt und das wird ja auch normal abgeleitet. Augenzwinkern

3 ist nicht abhängig vom x, die Produktregel kommt lediglich zum Einsatz wenn beide Produkte Funktionen von x sind.
Konstante Faktoren bleiben beim ableiten unverändert.

12.09.2007, 10:37

destynate

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hm ok so kann ich mir das merken, thx! smile

...sogar einleuchtend :-)

ihr seid die besten ! ^^

12.09.2007, 14:14

-Mischka-

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Zitat:

Original von destynate
jo das is klar! smile

aber ich check grad irgendwie voll nicht warum die lösung so lautet oO

$\begin{eqnarray*} 3*cos(x) \end{eqnarray*}$ ist doch eigentlich ein Produkt! Wieso setzt man da nicht die produktregel an?!

Der Punkt ist auch, dass die Produktregel hier nix ändert...
$\begin{eqnarray*} f(x)=u(x)\cdot v(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v(x) \end{eqnarray*}$
In unserem Fall ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=3\cdot \cos(x) \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} u(x)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$
Also sind
$\begin{eqnarray*} u'(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'(x)=-\sin(x) \end{eqnarray*}$

Also, das setzte ich jetzt ein:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0\cdot \cos(x) + 3\cdot -\sin(x)=3\cdot -\sin(x)=-3\sin(x) \end{eqnarray*}$
Wie man sieht, ist die Produktregel auch hier anwendbar, aber da bei konstanten immer der eine Summand 0 beträgt, zieht man die Faktorregel vor, wenn ein konstanter Faktor voran gestellt ist.

12.09.2007, 14:19

mercany

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Ich verschiebe mal nach Schul-Analysis.
Der Stoff passt durchaus noch in das Schulniveau rein.

12.09.2007, 14:20

destynate

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ok das war deutlich Big Laugh

ich bin bisher immer davon ausgegangen, das wenn ich zb eine "3" ableite 'ne 1 rauskommt xD

hm bin echt bissl eingerostet.. gna und montag klausur Prost

12.09.2007, 14:22

-Mischka-

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Zitat:

Original von destynate
ich bin bisher immer davon ausgegangen, das wenn ich zb eine "3" ableite 'ne 1 rauskommt xD

Ich plotte mal eben f(x)=3

Die Ableitung gibt ja die Steigung an, und nun sieh mal nach, welche Steigung das Teil hat...

12.09.2007, 15:45

destynate

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hehehe JAAA überredet Augenzwinkern

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