Algebraische Strukturen |
| 12.09.2007, 09:29 | Egon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Algebraische Strukturen Ich versuche gerade, mir einen Überblick über die verschiedenen algebraischen Strukturen zu verschaffen, und habe mir dazu eine Zusammenfassung gemacht. Vielleicht haben die Experten dieses Forums Kommentare, Verbesserungsvorschläge und/oder Korrekturen dazu? Zuerst habe ich eine Zahlenmenge M, wie N oder Q. Zur Zahlenmenge nehme ich eine zweistellige Vernküpfung hinzu, die zwei Elemente aus M als Argumente nimmt und deren Resultat wieder aus M stammt. Dadurch erhalte ich ein Magma. Ist die o.g. Vernküpfung zudem noch Assoziativ, dann ist es nicht nur ein Magma, sondern sogar eine Halbgruppe. Und wenn es dazu auch noch ein neutrales Element e gibt, wird die Halbgruppe zum Monoid. Ein Monoid, in welchem ich zu jedem Element a auch ein inverses Element a^-1 habe, sodass a*a^-1 = e gilt, dann habe ich eine Gruppe. Gilt in einer Gruppe auch noch das Kommutativgesetz, dann ist sie abelsch. Ich nehme nur zur abelschen Gruppe eine zweite Vernküpfung hinzu, die assoziativ ist (aber nicht kommutativ). Zwischen dieser zweiten und der ersten Vernküpfung gilt das Distributivgesetz. So erhalte ich einen Ring. Ist die zweite Verknüpfung des Rings zusätzlich noch kommutativ, dann kann man von einem kommutativen Ring sprechen; in ihm sind also beide Verknüpfungen kommutativ. Hat der Ring für seine zweite Verknüpfung auch ein neutrales Element, dann ist es ein unitärer Ring. Wenn ich in einem unitären Ring zusätzlich noch ein inverses Element für die zweite Verknüpfung habe, dann ist er ein Schiefkörper. Der Schiefkörper wird zu einem Körper, wenn die zweite Verknüpfung auch kommutativ ist; d.h. ein Körper entsteht, wenn ich einem kommutativen Ring ein neutrales Element für die zweite Verknüpfung schenke. Ich danke allen, die sich die Zeit nehmen, das mal kritisch durchzulesen. Beste Grüsse. |
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| 12.09.2007, 11:57 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Algebraische Strukturen
Wenn du nur die Existenz eines linksneutralen Elementes forderst, stimmt das nicht. Ansonsten passt alles. |
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