Taylorreihe

10.03.2005, 20:16

bixi

Taylorreihe

Hi,
ich habe ein problem bei taylorreihen. wie differenziere ich diese reihe jetzt? die formel habe ich, aber ich weiß nicht, wie ich sie anwenden soll.

die formel lautet:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{f^{(n)}(x0)}{n!} (x-x0)^{n} \end{eqnarray*}$
wenn ich jetzt z.b. die geometrische reihe habe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{1-a} \end{eqnarray*}$
wie bestimme ich dann z.b. die 20.Ableitung?

Danke für die Hilfe
lg bixi

10.03.2005, 21:33

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RE: Taylorreihe
Eine Potenzreihe kann innerhalb des Konvergenzintervalls (also nicht notwendig auf dem Rand!) gliedweise differenziert werden. Die entstehende Potenzreihe hat denselben Konvergenzradius wie die Ausgangsreihe. Und jedes einzelne Reihenglied ist ein Polynom, das wirst du ja wohl differenzieren können.

Zitat:

Original von bixi
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{1-a} \end{eqnarray*}$

Das ist keine Potenzreihe. Möglicherweise meinst du ja

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~x^n=\frac{1}{1-x},\qquad |x|<1 \end{eqnarray*}$ .

10.03.2005, 21:36

Egal

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Also Taylorreihen differenzieren is an und für sich relativ einfach. Das sind ja Potenzreihen.

insbesondere sind $\begin{eqnarray*} \frac{f^(n)(x_0)}{n!} \text{ und auch } x_0 \end{eqnarray*}$ konstanten müssen also bei der Differenzierung nicht berücksichtigt werden. Was mir allerdings schleierhaft ist was hat deine Taylorreihe mit der geometrischen Reihe zu tun?

11.03.2005, 14:30

bixi

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Hallo!

Also da habe ich mich bei meiner geometrischen Reihe geirrt, tut mir Leid. Ich meinte natürlich:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~x^{n} \end{eqnarray*}$

Also ich muss folgendes Beispiel lösen:
Berechnen Sie die Taylorreihe von f mit Anschlussstelle 0 und bestimmen Sie daraus $\begin{eqnarray*} f^{(20)}(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{(33)}(0) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x^{11}-1} \end{eqnarray*}$

Die Taylorreihendarstellung von solchen Funktionen lautet ja :
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{a} = \sum_{n=0}^\infty ~\begin{pmatrix} a \\ n \end{pmatrix} x^{n} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie man bei solchen Ausdrücken die 20. oder 33. Ableitung berechnet.
Kann mir da jemand helfen?

Danke, vielmals
lg Bixi

11.03.2005, 17:11

Mathespezialschüler

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Verschoben (Algebra??)

11.03.2005, 19:21

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Der Schreibweise

Zitat:

Original von bixi
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x^{11}-1} \end{eqnarray*}$

(und somit $\begin{eqnarray*} f(0)=\sqrt[3]{-1} \end{eqnarray*}$ ) entnehme ich, dass ihr Wurzeln ungeraden Grades auch für negative reelle Zahlen definiert habt - das ist durchaus nicht selbstverständlich. Die Schreibweise
$\begin{eqnarray*} f(x)=-\sqrt[3]{1-x^{11}} \end{eqnarray*}$
in der Umgebung von Null ist daher seriöser. Und nun musst du in deine Taylorreihendarstellung

$\begin{eqnarray*} (1+t)^a=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{a \choose n} t^n \end{eqnarray*}$

nur noch die Werte $\begin{eqnarray*} t=-x^{11} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=\displaystyle\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ einsetzen, schon hast du eine Potenzreihendarstellung für dein f(x) an der Entwicklungsstelle Null. Da die Potenzreihenentwicklung (sofern sie existiert) eindeutig ist, ist diese Darstellung dann auch gleich die Taylorreihenentwicklung.

Zitat:

Original von bixi
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie man bei solchen Ausdrücken die 20. oder 33. Ableitung berechnet.

Alles, was du dazu im Kern brauchst, ist die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Ableitung des Polynoms $\begin{eqnarray*} x^m \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} k,m \end{eqnarray*}$ . Mach doch mal diese Nebenrechnung!

Ein Tipp noch: $\begin{eqnarray*} m!=m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \end{eqnarray*}$ benutzen, um die entstehenden Ausdrücke in gebotener Kürze zu schreiben!

11.03.2005, 21:20

bixi

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Danke für die Hilfe!

Ich glaube damit kann ich es schaffen!

Schönen Abend Bixi

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