Wurzeln & bin. Formeln

12.09.2007, 12:03

tim taler

Wurzeln & bin. Formeln

Hallo zusammen,

auch bei diesem "Brocken" von Aufgabe habe ich noch nicht das richtige Ergebnis. Habe jetzt 2mal nachgerechnet aber es stimmt noch nicht ganz.

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{a-x}{x-b}} - \sqrt{\frac{x-b}{a-x}})^2 \end{eqnarray*}$

erst habe ich die 2. bin. Formel angewandt

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{a-x}{x-b}})^2 - 2*(\sqrt{\frac{a-x}{x-b}})*(\sqrt{\frac{x-b}{a-x}}) + (\sqrt{\frac{x-b}{a-x}})^2 \end{eqnarray*}$

nun Multiplikation der Wurzeln

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{a-x}{x-b}})^2 - 2*(\sqrt{\frac{a-x}{x-b})*(\frac{x-b}{a-x}}) + (\sqrt{\frac{x-b}{a-x}})^2 \end{eqnarray*}$

ein bischen Kürzen

= $\begin{eqnarray*} \frac{a-x}{x-b} - 2*(\sqrt{1}) + \frac{x-b}{a-x} \end{eqnarray*}$

nun sieht es ja schon gar nicht mehr so wild aus, aber trotzdem vermute ich irgendwo in den nächsten Schritten den Fehler...

= $\begin{eqnarray*} \frac{a-x}{x-b} - \frac{2}{1} + \frac{x-b}{a-x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(a-x)*1-2*(x-b)}{(x-b)} + \frac{x-b}{a-x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(a-x)-(2x-2b)}{(x-b)} + \frac{x-b}{a-x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{((a-x)-(2x-2b))*(a-x)+ (x-b)^2}{(x-b))*(a-x)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(a-x)^2-((2x-2b)*(a-x))+ (x-b)^2}{(x-b))(a-x)} \end{eqnarray*}$

ausmultiipliziert...

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2 -2ax +x^2 -2ax +2x^2 +2ab -2bx +x^2 -2bx +b^2}{(x-b))(a-x)} \end{eqnarray*}$

ergibt...

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2+b^2+4x^2-4bx-4ax+2ab}{(x-b))(a-x)} \end{eqnarray*}$

Mein Buch hätte aber gerne die folgende Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2+b^2+4x^2-4bx-2ax}{(x-b))(a-x)} \end{eqnarray*}$

Habe also 2ab zuviel und 2ax zu wenig, vielleicht findet jmd. den Fehler?

Gruss, tt

12.09.2007, 12:15

Calvin

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Ich kann keinen Fehler entdecken und kriege mit meiner Rechnung das gleiche Ergebnis wie du. Woher kommt das angeblich richtige Ergebnis?

12.09.2007, 12:35

Joefish

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Hmm.. Habs jetzt auch 3mal nachgerechnet und finde keinen Fehler...
Wahrscheinlich ist die Lösung aus dem Buch einfach falsch.
Habe in meinen Büchern auch desöfteren Fehler gefunden.
Nobody is perfect Augenzwinkern

12.09.2007, 13:24

tim taler

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Danke euch beiden.
Dann wird es wohl ein Fehler im Buch sein. Möchte aber den Autor hier nicht weiter belasten Big Laugh

Gruss, tt

12.09.2007, 14:49

Alexandra87

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das das ergebnis aus dem buch nicht stimmen kann, lässt sich leicht zeigen:
setz doch einfach mal für a und b in der ursprünglichen gleichung sowie in der vermeintlich richtigen ein.

hab das mal für a=2 und b=3 gemacht:
die ausgangsgleichung liefert als ergebnis $\begin{eqnarray*} x=\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ (was übrigens bei deinem ergbnis auch rauskommt)
das "ergebnis" aus dem buch liefert bei einsetzen von a und b: $\begin{eqnarray*} x=2\pm\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

somit kann dieses ergebnis nicht stimmen!!

-- in lösungsbüchern sind eben viele ergebnisse auch falsch!!!

12.09.2007, 18:22

ISAS

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RE: Wurzeln & bin. Formeln

Zitat:

Original von tim taler
nun sieht es ja schon gar nicht mehr so wild aus, aber trotzdem vermute ich irgendwo in den nächsten Schritten den Fehler...

= $\begin{eqnarray*} \frac{a-x}{x-b} - \frac{2}{1} + \frac{x-b}{a-x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(a-x)*1-2*(x-b)}{(x-b)} + \frac{x-b}{a-x} \end{eqnarray*}$

ich komm mir zwar im moment n bissl dämlich vor aba wie kommt man von der ersten auf die zweite gleichung?

12.09.2007, 18:32

Calvin

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$\begin{eqnarray*} \frac{a-x}{x-b}-2 \end{eqnarray*}$ wurde auf einen Bruch mit dem Hauptnenner $\begin{eqnarray*} (x-b) \end{eqnarray*}$ gebracht.

12.09.2007, 18:37

ISAS

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aso danke jetzt seh ichs auch!

12.09.2007, 18:51

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Ich weiß ja nicht, was du weiter mit dem Term anstellen willst, aber sehr oft sollte man nicht so voreilig ausmultiplizieren. Ich wäre eher so vorgegangen: Erst mal ausklammern unterm Quadrat:

$\begin{eqnarray*} \left( \sqrt{\frac{a-x}{x-b}} - \sqrt{\frac{x-b}{a-x}} \right)^2 = \left( \left[ \frac{a-x}{x-b} - 1 \right]\cdot \sqrt{\frac{x-b}{a-x}} \right)^2 = \left( \frac{a+b-2x}{x-b} \right)^2 \cdot \frac{x-b}{a-x} = \frac{(a+b-2x)^2}{(x-b)(a-x)} \end{eqnarray*}$

EDIT: Sorry, da war noch ein Wurzel zuviel. Sch... Copy+Paste. Augenzwinkern

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