Normalform einer Quadrik bestimmen

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lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »
Normalform einer Quadrik bestimmen
Hallo,
es soll die Normalform der Quadrik in Abhängigheit von bestimmt werden.

Ich habe das zuerst in eine Matrix umgeschrieben:


Dann habe ich die Eigenwerte bestimmt:


Und nun komm ich nicht weiter.
Als nächstes müsste man doch die Eigenräume berechnen.
Muss man da dann zuerst für eine Fallunterscheidung machen? Oder wie geht man da jetzt am besten vor?

Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.

Gruß
Natalie
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was verstehst du unter "Normalform"? Dass die gemischten Terme verschwinden? Dazu brauchst du keine Eigenwerte.

Anders formuliert: Suchst du eine Orthonormalbasis bezgl. oder suchst du eine Orthonormalbasis bezgl. , die gleichzeitig eine Orthonormalbasis des euklidischen ist (das ist gerade die Aussage der Hauptachsentransformation)?


Gruß, therisen
 
 
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
Danke schon mal für deine Antwort.

Die gemischten Terme sollen verschwinden.
Wir haben bei solchen Aufgaben immer zuerst die Eigenwerte berechnet.
Wie geht man denn nun vor?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Entscheidend für die Normalform ist die Signatur von . Eigenräume musst du nicht berechnen, da dich keine konkrete Basis interessiert.

Es bezeichne .

Dann ist . Bleibt nur noch

.

zu untersuchen. Für welche gilt jeweils






Hinweis:



Die Signatur kannst du dann anhand der zu kongruenten Matrix



ablesen.


Gruß, therisen


EDIT: Skizze erweitert.
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Es bezeichne .

Was ist damit gemeint?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nur eine Schreibweise, damit ich den Ausdruck nicht so oft teXen musste Augenzwinkern
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Das ist nur eine Schreibweise, damit ich den Ausdruck nicht so oft teXen musste Augenzwinkern

lol.
Ich sollte mir angewöhnen, nicht aus allem ne Wissenschaft machen zu wollen. Hammer

Aber schon mal danke für die Hilfe. Ich werd mir das alles morgen nochmal in Ruhe zu Gemüte führen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Entscheidend für die Normalform ist die Signatur von . Eigenräume musst du nicht berechnen, da dich keine konkrete Basis interessiert.


Warum interessieren die Eigenvektoren nicht? Man kann doch jeweils für und den normierten Eigenvektor (bzw. ) berechnen und diese beiden als Spaltenvektoren in eine Matrix schreiben, welche somit eine orthogonale Matrix ist. Mit der Transformation gilt dann



wo



Also folgt



Und ist das nicht das erklärte Ziel?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Also folgt



Und ist das nicht das erklärte Ziel?


Genau, das ist das Ziel. Das erhält man allerdings auch ohne Kenntnis von . Schließlich kann man einfach die quadratische Form betrachten (mit dem Wissen, dass es eine geeignete Koordinatentransformation gibt, die x in y überführt und umgekehrt smile ).
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Genau, das ist das Ziel. Das erhält man allerdings auch ohne Kenntnis von . Schließlich kann man einfach die quadratische Form betrachten (mit dem Wissen, dass es eine geeignete Koordinatentransformation gibt, die x in y überführt und umgekehrt smile ).


Das ist richtig. Ich wollte nur aufzeigen, wie und auch warum man zum Ziel kommt. Man braucht also lediglich die Eigenwerte. Was spielt die Signatur da für eine Rolle?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Signatur ist so gemeint, dass sich dadurch die quadratischen Formen identifizieren lassen (man muss dabei noch 3 Fälle unterscheiden, nämlich ob die Konstante positiv (1), negativ (-1) oder gleich Null ist). Für diese Aufgabe spielt es allerdings nur eine untergeordnete Rolle, da man die Normalform einfach hinschreibt.

Angenehmerweise hat die Konstante in diesem Fall das gleiche Vorzeichen wie .
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe jetzt mal die Fallunterscheidung für gemacht und bin auf folgendes gekommen:

Aber was bringt diese Fallunterscheidung jetzt?
Und was versteht man unter "Signatur"?

Ich bin es übrigens auch gewohnt, die Aufgaben so zu lösen, wie WebFritzi vorgeschlagen hat.
Aber bei dieser Aufgabe komme ich irgendwie nicht mit dem Parameter klar und wie ich daraus dann die Eigenvektoren bestimmen soll.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir doch mal den Graphen an, das kann nicht stimmen. Du untersuchst eine Parabel. Das ist 8. oder 9. Klasse unglücklich Es gibt alleine schon mal 2 Nullstellen...

Weißt du überhaupt, was bei der Hauptachsentransformation geschieht? Dann sollten dir nämlich die Fallunterscheidungen klar sein, insbesondere nach dem Dialog zwischen WebFritzi und mir unglücklich

Grob gesagt zählt die Signatur die Anzahl der postiven und negativen Einsen auf der Hauptdiagonalen.


Gruß, therisen
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

O ja. Da hab ich beim Rechnen ziemlich geschlampt.
Es muss natürlich so heißen:


Zitat:
Original von therisen
Weißt du überhaupt, was bei der Hauptachsentransformation geschieht?

Nein. Und das ist das Problem.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt stimmt es Freude

Nun betrachte für jeden der drei Fälle die quadratische Form



bzw. das Urbild (das ist jeweils eine geometrische Figur)

Hier der erste Fall: .

Gesucht sind diejenigen , sodass



Das ist äquivalent zu



Jetzt erkennst du die Koordinatengleichung für eine Ellipse! Das war vorher nicht klar. Diese Darstellung heißt Normalform.
Anschaulich gesehen hast du in einem xy-Koordinatensystem eine beliebige Ellipse gegeben und drehst das Koordinatensystem so, dass deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung ist und die Hauptachse mit der x-Achse zusammenfällt (die Drehmatrix erhältst du über die Eigenvektoren).


Gruß, therisen
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt hab ich das mal für die beiden anderen Fälle durch gerechnet:




Stimmt das?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wenn , dann ist auch (dafür hab ich doch die Skizze gemacht!).
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann so:


Edit: Zu schnell abgeschickt. Unter der ersten Wurzel würde dann ja was Negatives stehen und das geht ja auch nicht. verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht tust du dich ja leichter, wenn die Zahlen verschwunden sind:

lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm.


Aber jetzt hab ich unter der Wurzel im zweiten Term was Negatives stehen.
Es ist doch so, wenn ich durch teile, also eine negative Zahl durch eine negative, wird doch positiv ,oder?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lonesome-dreamer
wird doch positiv ,oder?


Nein, ist und bleibt negativ.
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stimmt das etwa so wie ich es im letzten Post aufgeschrieben habe?

therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der Radikand der linken Wurzel ist immer noch negativ.
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte das noch so schreiben:



Aber darf man das so ohne weiteres?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt stimmt es.
lonesome-dreamer Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Vielen Dank für die Hilfe smile

Gruß
Natalie
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