Asymptoten einer FUnktion mit Limes ?!

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marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptoten einer FUnktion mit Limes ?!
Hi,

hatte hier ja schon vor ein paar Tagen mal geschrieben...habe dann rausgefunden dass mein mühselig zusammengefrickeltes referat zum falschen thema war unglücklich

Auf jeden Fall hat mein Lehrer mir gesagt, dass ich über Asymptoten machen soll. (für alle die das Buch ELEMENTE haben: Seite 14 / 15 Nr. 2+3)

Hier steht jetzt eine Definition:
Zitat:

Eine Gerade mit der Gleichung y = mx +b heißt Asymptote des Graphen einer Funktion f für x->oo (bzw. x->-oo) falls gilt:
limes für x->oo (f(x) - mxb) = 0
bzw.
limes für x->-oo (f(x) - mxb) = 0

(sry dass ichs nicht mit latex gemacht hab aber das ist so kompliziert)

Auf jeden Fall soll ich das dann mit Beispielen erklären.

Wenn ich jetzt zur Funktion f(x) = 0,5^(x) + 2 eine Asymptote suche, muss ich ja gucken dass Grenzwert von f(x) minus des Grenzwerts der Asymptote null ist.

Wie ist jetzt der Grenzwert von f(x)? So wie das auf dem Taschenrechner aussieht läuft sie gegen 2. Was wäre denn dann eine funktion nach dem Schema y=mx+b mit dem Grenzwert 2?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Wichtig ist für die Asymptote die Steigung und den Y-Achsenabschnitt zu finden.

Wie ist denn die Steigung von f in dem Bereich ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

es sei



aus den grenzwertsätzen folgt dann:


marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
Wichtig ist für die Asymptote die Steigung und den Y-Achsenabschnitt zu finden.

Wie ist denn die Steigung von f in dem Bereich ?


Also für f(x) = 0,5^x + 2 ist der y-Achsenabschnitt bei y=3.
f'(x) = ln 0,5 * 0,5^x

Jetzt will ich die Steigung bei y=3 ausrechnen
3 = ln 0,5 * 0,5^x
3 = -0,692 * 0,5^x
-4,33 = 0,5^x

So wenn ich jetzt beide Seiten loggen will kommt Error weil -4,33 kann man ja nicht mit log ausrechnen.

Was mache ich falsch?
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry tmo dein Beitrag hilft mir jetzt nicht direkt weiter ? weiß nicht was ich damit machen soll.


Hier im Buch steht noch eine Aufgabe
Zitat:

"Bestimme mithilfe von Grenzwertsätzen:
c) (x+1) / x²
für x gegen oo


Wie bestimme ich das? Ich weiß das (x+1) gegen unendlich geht und x² eigentlich auch. was ist jetzt also der grenzwert?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo



vergleich das doch einfach mal mit der definition ein asymptote...
 
 
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

Jo das is dasselbe. Aber was sagt mir das jetzt?

ich suche ja ein Beispiel für eine Asymptote zur Funktion f(x) = 0,5^x + 2. Ich weiß nicht wie man das findet oder einen Grenzwert ausrechnet.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

den grenzwert hast du doch schon bestimmt. der liegt bei 2.

also ist

damit lautet die asymptote wie?
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

hi tmo,

jo die asymptote müsste den grenzwert 2 haben....man könnte jetz natürlich sagen die asymptote ist y = 2...aber das wär ja langwielig, oder? Augenzwinkern

kann man nicht irgendwie ne gleichung finden wie y = 7x + 4 oder ist y = 2 die einzig mögliche asymptote?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt eine einzige gerade mit dem grenzwert 2 und das ist y = 2.
jede gerade mit einer steigung ungleich 0 divergiert nach plusminus unendlich.

also ist y = 2 die asymptote.
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

hier im buch ist aber so ein bild, da ist eine ganz krumme kurve und als asymptote haben sie eine gerade gezeichnet die aussieht wie 2x - 3 oder so.

ist y = 2 die einzige asymptote der funktion f(x) = 0,5^x +2?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

in diesem fall hat die funktion dann selbst auch keinen grenzwert, sondern divergiert ebenfalls nach unendlich.

und ja y = 2 ist die einzige asymptote dieser funktion.

vielleicht solltest du auch einfach mal das hier durchlesen und verstehen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Funktion
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

okay, werde ich auf jeden fall machen aber jetzt ist die zeit was knapp :/
was wäre denn die asymptote für f(x) = 0,5^(x) + 2x
tmo Auf diesen Beitrag antworten »



versuche den beweis dafür mal selbst zu führen. am besten direkt mit der definition, die du im ersten post angegeben hast.
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

fett so ne funktion hab ich gesucht Augenzwinkern

jo also ich weiß halt nicht wi eman grenzwerte rauskriegt. habe da wie du merkst ziemliche lücken die ich im moment versuche aufzuholen, war nämlich in der 11 im ausland...

also grenzwert von

f(x) = 0,5^(x) + 2x

minus

grenzwert von y = 2x

muss 0 ergeben. aber was sind die grenzwert?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

laut deiner defintion muss



gelten. du kannst doch jetzt erstmal zusammenfassen.

und der grenzwert, der dann noch übrig bleibt, wurde glaube ich schon in dem andern thread von dir besprochen.
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

keine ahnung wie man das zusammenfassen kann, das erste steht ja in ner klammer???

wie geht das denn?
sry dass ich echt 0 ahnung habe
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

es gilt für die addition auf den reellen zahlen das assoziativgesetz:



solche elementaren sachen müssen einfach sitzen Lehrer

denn erst dann kannst du all deine energie auf das eigentliche problem konzentrieren.
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

oh ... ganz vergessen.

jo haste recht. hab eh schon verkakkt unglücklich nächstes mal wähle ich dann nicht so einen arsch schweren lk hehe

also kommt da raus der limes von 0.5^x...

wenn ich dann morgen der klasse erklären soll, hier so und so geht das...was ist denn der grenzwert von 0.5^x?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

das wurde doch in deinem anderen thread schon erklärt:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=143706

schau dir mal die letzten posts dadrin an.
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

okay also der grenzwert von 0.5^x ist 0. richtig?


wie komme ich dann wenn ich die funktion f(x) = 0.5^(x) + 2x ganz von alleine darauf dass die asymptote 2x ist??? ohne eine göttliche eingabe???

was ist denn der grenzwert von f(x)?
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

dann gibts noch die funktion 0,5^(x) * sin(x).... verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

für x --> unendlich geht 0.5^x gegen 0, also verhält sich die funktion im unendlichen wie die gerade y = 2x.

allgemein ist die asymptote einer funktion der form:



genau dann die gerade y = mx + b, wenn g(x) den grenzwert 0 hat.

ich würde es also mehr als erfahrung bezeichnen. göttliche eingabe ist das sicher nicht Augenzwinkern (schade eigentlich Big Laugh )


edit: zu der neuen frage: zwischen welchen werten bewegt sich der sinus?
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

welche stufe bist du denn?

habe jetzt noch die funktion 0.5^(x) sin(x)

wäre das jetzt richtig wenn 0.5^(x) gegen 0 geht muss die asymptote sin(x) sein????

das wäre einfach nur geil dann hätte ich es fast verstanden
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ach da ich gerade gut drauf bin, führe ich dich jetzt in eine andere möglichkeit ein, grenzwerte nachzuweisen.

es gilt:

in worten: der sinus wird nie größer als 1 und nie kleiner als -1. das sollte dir bekannt sein. (sogar noch aus der mittelstufe).

multipliziert man diese ungleichung mit erhält man:



wenn nun x gegen unendlich strebt, so passiert was mit den termen links und rechts? was muss man dann notwendigerweise auch mit dem mittleren passieren?
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

also der linke geht gegen minus unendlich, der recht geht gegen plus unendlich?

weiß nicht was mit dem mittleren passieren muss...?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben doch eben noch festgestellt, dass der grenzwert von 0.5^x gleich 0 ist Lehrer

der rechte term geht also gegen 0.

der linke ist gerade das negative vom rechten und wegen den grenzwertsätzen geht er auch gegen welchen grenzwert?

was passiert also notwendigerweise mit dem mittleren?
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
wir haben doch eben noch festgestellt, dass der grenzwert von 0.5^x gleich 0 ist Lehrer

der rechte term geht also gegen 0.

der linke ist gerade das negative vom rechten und wegen den grenzwertsätzen geht er auch gegen welchen grenzwert?

was passiert also notwendigerweise mit dem mittleren?


also 0 negativ sollte auch 0 sein. ich weiß nicht welcher grenzwertsatz hier passt.

der mittlere muss notwendigerweise auch gegen 0 gehen, weil zwischen 0 und 0 ist ja nicht viel platz?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

jop das ist richtig Freude

aber kleiner nachtrag: hast du denn auch verstanden wie genau ich zu dieser ungleichung gekommen bin, welche uns es letztendlich erlaubt hat den grenzwert nachzuweisen?
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

ehrlich gesagt nicht

könnte mir jetzt gar nicht vorstellen wie man diese ungleichung für irgendetwas anderes anwenden könnte. z.b. für 2x?

und man darf einfach mit 0.5^x multiplizieren,einfach so?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

also was verstehst du jetzt genau nicht?

wie ich auf die ungleichung gekommen bin?
die erste ungleichung, mit der ich angefangen habe, sollte bekannt sein und ich kann mit 0.5^x einfach so multiplizieren, weil dieser term immer > 0 ist.

wann man dieses verfahren anwenden kann?
meistens wenn du vermutest, dass eine funktion/folge einen bestimmten grenzwert hat und es nachweisen willst.
du suchst eine funktion/folge, welche immer (bzw für hinreichend große x) kleiner ist sowie eine funktion/folge, welche immer (bzw für hinreichend große x) größer ist und welche beide (bekanntermaßen) den vermuteten grenzwert haben.

weiterhin wird dieses verfahren z.b. angewendet, um den hauptsatz der analysis/integralrechnung zu beweisen, falls der dir was sagt.
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm okay, jetzt noch 1 beispiel um zu gucken ob ichs verstanden hab.


Bei der gleichung f(x) = (1/x) + x will ich die asymptote finden.

was ist der grenzwert von 1/x ? 0.

das heißt 1/x + x - die asymptoten funktion = 0.

wir haben da also stehen 0 + x + (asymptotenfunktion)= 0
also müssen wir asymtotenfunktion mit -x ersetzen, oder nicht?

doch -x ist nicht die asymptote zu dieser funktion. was mache ich falsch?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

naja formell ist das zwar augenkrebswürdig, aber hättest du nicht das "- asymptotenfunktion" durch "+asymptotenfunktion" ersetzt, wärst du sogar auf die richtige asymptote gekommen.
marc.leyer Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, bei +x kommt auch eine schöne asymptote raus, aber warum?

da würde stehen

f(x) = (1/x) + x
g(x) = ???

notwendige Bedingung
f(x) - g(x) = 0

jetzt einsetzen

((1/x)+x) - g(x) = 0

((1/x)+(x-x) = 0

Grenzwert ausrechnen

0 + 0 = 0
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