Interessante Polstellen einer trigonometrischen Funktion

12.09.2007, 22:40

Hakle

Interessante Polstellen einer trigonometrischen Funktion

hi! ich komm nicht drauf, aber ich weiß es gibt eine Lösung!
folgende trigonomische Funktion:

f(x) = ( 1 - sin(x) ) / cos(x)

(sorry, kann kein tex)

hat polstellen an pi/2 + k*pi mit k € Z.

Nun, ich weiß auch, dass wenn man sich der polstelle von links nähert, der funktionswert bei -unendl., und wenn man sich von rechts nähert bei +unendl. ist.

Es existiert aber eine äquivalente Funktion f*(x), die durch Umformen nach den Additionstheorem an den Polstellen keine Division durch Null erzeugt, und ich meine keine Intervallfunktion (nein, so einfach darf man sich das nicht machen.)

Also, ich probier seit mehreren Stunden und komm nicht drauf. Wenn jemand das Problem kennt oder f*(x) findet, wär ich dankbar. Ich hab ne Ausflug über den Einheitskreis gemacht, aber leider zu keinem brauchbaren Ergebnis gekommen. Ich bin gespannt ob sich hier jemand packen lässt und mal probiert.

Liebe grüße. -Hakle

12.09.2007, 23:08

AndGaL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Interessante Polstellen einer trigonometrischen Funktion
Hallo Hakle, und wenn du Cos(x) durch Sin(x) / Tan(x) ausdrückst? Dann würde die Funktion so aussehen:

[ (1-sin(x)) * tan(x)] / sin(x)

und hättest keine Division durch 0 mehr.

Grüße, Andres

12.09.2007, 23:45

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

@AndGaL

damit hättest du aber den Definitionsbereich noch weiter eingeschränkt. Das ist sicher auch nicht Sinn der Sache.

Ich bin aber auch noch auf der Suche nach einem passenden Additionstheorem verwirrt

13.09.2007, 01:12

Hakle

Auf diesen Beitrag antworten »

erste gehversuche
hallo andreas,

deine umstellung ist sicher schon in die richtige richtung gegangen, allerdings hat man ja bei der division durch sin(x) auch eine mögliche division durch null, da die Sinusfunktion auch alle k*pi die x-Achse schneidet. Dadurch verändert man nur die undefinierten Stellen, wird sie nur leider nicht los.

hier einige umformungen, die ich bisher gefunden habe, aber nicht weiß ob es sich um sackgassen handeln oder nicht. ich bin da leider nicht weiter gekommen

f(x) = (1-sinx) /cos x

= arccos x - tan x
= sec x - tan x

= (1 + sin(-x)) / cos x
= (1 + sin(-x)) / cos (-x)

= (1 + sin(x)) / sin (x + pi/2)
= [ 1 / sin (x + pi/2) ] - [ sin(x) / sin (x + pi/2) ]
= [ 1 / sin (x + pi/2) ] - ( x / x + pi/2)

ja, vielleicht könnt ihr hiermit etwas anfangen, also ich denke ja schon recht weit gekommen zu sein, aber potenzielle nullteiler sind immernoch vorhanden, wie in der ausgangsfunktion.

13.09.2007, 07:14

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Begriffe gehen hier arg durcheinander. Zunächst einmal sind die Stellen $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = \frac{3 \pi}{2} \end{eqnarray*}$ (modulo $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ) Definitionslücken der Funktion. Das heißt nicht, daß da zwangsläufig Pole vorliegen.

Für $\begin{eqnarray*} x \to \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ empfehle ich die Substitution $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} + t \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x \to \frac{3 \pi}{2} \end{eqnarray*}$ entsprechend $\begin{eqnarray*} x = \frac{3 \pi}{2} + t \end{eqnarray*}$ . Man hat dann jeweils den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} t \to 0 \end{eqnarray*}$ durchzuführen. Wegen der Verschiebungsformeln, z.B. $\begin{eqnarray*} \sin \left( \frac{\pi}{2} + t \right) = \cos{t} \end{eqnarray*}$ , läßt sich der Quotient schön schreiben. Es zeigt sich, daß nur eine der beiden Stellen eine Polstelle ist, bei der anderen befindet sich nach stetiger Ergänzung sogar eine Nullstelle. Eine Potenzreihenuntersuchung oder L'Hospital führen darauf.

@ Hakle
Si tacuisses, philosophus mansisses.

13.09.2007, 08:55

Hakle

Auf diesen Beitrag antworten »

@leopold: also richtig. entschuldigung, ich habe tatsächlich nullstelle und polstelle in einen hut geschmissen.

teilt man f(x) = h(x) / g(x) mit h(x) = 1 - sin(x) und g(x) = cos x, so liegt eine Definitionslücke alle pi/2 + k*pi vor.

Für x=pi/2 ist h(x) = 0, hier haben wir eine Definitionslücke, und für x=(3/2)*pi ist h(x) = 2, hier haben die polstelle. (auf jeden fall ist in beiden fällen g(x) = 0)

ich hab noch bis heute morgen um 3 dran gesessen und mach auch schon meine mitbewohner damit fertig. Mir wurde gesagt, dass es ein äquivalente Umformung mithilfe des Additionstheorem existiert. Ich nehme mal an, dass der clou irgendwo bei der regel
sin 2*x = 2 sin x * cos x liegt, aber wer weiß, könnt auch ne sackgasse sein.

mal ne frage nebenher: stimmt diese gleichung?
arccos(x) = cos^-1(x) = 1/cos x = sec x

13.09.2007, 09:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hakle
mal ne frage nebenher: stimmt diese gleichung?
arccos(x) = cos^-1(x) = 1/cos x = sec x

In dieser Form jedenfalls nicht. Hier ist das Problem die Bedeutung der -1.
Bei $\begin{eqnarray*} cos^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ kann die -1 für Umkehrfunktion als auch für Kehrwert stehen. Ich neige eher zu letzterem. In jedem Fall ist
$\begin{eqnarray*} arccos(x) \neq \frac{1}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Interessante Polstellen einer trigonometrischen Funktion

Verwandte Themen