ebene - gerade

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guess Auf diesen Beitrag antworten »
ebene - gerade
hallo

ich muss bis heute nachmittag mein beispiel fertig grechnet haben. den anfang habe ich gut geschafft, doch den rest kapiere ich einfach nicht. ich habe auch schon in eurem workshop vektorrechnung nachgeschaut, doch da verstehe ich nur bahnhof. ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen

ich schreibe mal mein beispiel auf:

von einer ebene kennt man einen punkt P (1/2/1) sowie eine gerade g: X=(4/0/-1) + t.(-2/2/1)

a.) gib die ebene sowohl in parameterform als auch in parameterfreien form an.

da kommt bei mir X=(1/2/1) + s.(-2/2/1) + t.(-3/2/2) und 2x + y +2z =6 heraus. laut lösungsbuch stimmt das auch.

b.) schneide die ebene mit der geraden h, die durch den punkt H(-2/-1/1) verläuft und normal auf die ebne steht.

mein ansatz ist:

(-2/3/2).(x/y/z) = (-2/3/2).(-2/-1/1)

also der normalverktor mal x,y,z = der normalvektor mal dem punkt H

-2x = 4
3y = -3
2z = 3

--> h: -2x + 3y + 2z = 4 - 3 + 3 --> h: -2x + 3y + 2z = 4

das habe ich dann in die parameterform gebracht:

X = (-2/-1/1) + t.(-2/3/2)

x = -2 - 2t
y = -1+ 3t
z = 1+ 2t

das habe ich dann in die ellipsengelichung eingesetzt um mir t auszurechnen:

2.(-2-2t) - 1 + 3t + 2.(1+2t) = 6
-4 - 4t - 1 + 3t + 2 + 47 = 6
3t=9 --> t=3

das habe ich dann wieder in die parameterform eingesetzt:

x = -2 - 2.3 = -8
y = -1+ 3.3 = -8
z = 1+ 2.3 = 7

mein schnittpunkt lautet also (-8/-8/7), der ist aber leider falsch! traurig

im lösungsbuch steht, es muss S(0/0/3) rauskommen.

wo ist mein fehler? kann mir bitte jemand helfen! es ist voll dringend
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebene - gerade
wie baust du die gerade???
die kannst du doch direkt hinschreiben
mit punkt H und normalenvektor von e

eingesetzt in die ebenengleichung (koo-form) ergibt t = 1 und die gesuchte lösung
werner
guess Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebene - gerade
ich habe mir das jetzt noch einmal ausgerechnet so wie du es gesagt hast, und es kommt das richtige ergebnis raus. danke!

aber ich verstehe nicht, warum es mit dem anderen vektor, (-3/2/2) nicht funktioniert. ich habe es jetzt 2 mal versucht, aber da kommt nichts richtiges heraus.

wo liegt denn der unterschied zwischen dem vektor vor dem s und dem vektor vor dem t?

liegts darane, dass der vektor vor dem s mein richttungsverktor von der in der angabe gegebenen gerade ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebene - gerade
Da stellt sich die Frage, was du gerechnet hast. Wo kommz z.B. in deinem Ansatz (-2/3/2).(x/y/z) = (-2/3/2).(-2/-1/1) der Vektor (-2/3/2) her?
guess Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebene - gerade
das ist der vektor von meiner ebene die ich unter punkt a ausgerechnet habe, nur umgedreht. ich muss ja, wenn ich einen normalvektor haben will, 1 vorzeichen ändern und eine zahl vertauschen, oder?

X=(1/2/1) + s.(-2/2/1) + t.(-3/2/2)

ich habs umgedreht und ein zeichen vertauscht und dann in die normalvektorform eingesetzt

(-2/3/2).(x/y/z) = (-2/3/2).(-2/-1/1)

aber mit dem vektor gehts irgendwie nicht, geht nur mit dem, der nach dem s steht.verstehe ich nicht unglücklich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebene - gerade
Zitat:
Original von guess
das ist der vektor von meiner ebene die ich unter punkt a ausgerechnet habe, nur umgedreht. ich muss ja, wenn ich einen normalvektor haben will, 1 vorzeichen ändern und eine zahl vertauschen, oder?

Also das Verfahren ist mir neu und wie du selbst merkst, stimmt es anscheinend auch nicht. Der Vektor (-2/3/2) steht nicht senkrecht auf der Ebene. Dann müsste ja das Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren (-2/2/1) und (-3/2/2) Null sein.
Schauen wir uns die Ebenengleichung 2x + y +2z = 6 an.
Das kann man auch so schreiben: (2/1/2) * (x/y/z) = 6
Also ist (2/1/2) ein Normalenvektor.
 
 
guess Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebene - gerade
ohjeee, ich kenne mich mich vektoren nicht allzugut aus.

wozu brauche ich dann eigentlich den vektor (-2/3/2)?

und wie kann ich jetzt z.b von der ebene einen punkt finden, der den abstand 18 hat?

ich rechne ja mit vektoren und keinen längen.

*verzeifel* traurig
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebene - gerade
Zitat:
Original von guess
wozu brauche ich dann eigentlich den vektor (-2/3/2)?

Wieso reitest du immer auf diesem Vektor rum? verwirrt Ich weiß auch nicht, wozu der gut ist. Vermutlich zu gar nichts.

Um einen Punkt mit Abstand 18 zur Ebene zu finden würde ich so vorgehen:
Erstmal den Normalenvektor (2; 1; 2) auf Länge 1 normieren. Das ergibt den Vektor (2/3; 1/3; 2/3).
Jetzt kann man das 18-fache von diesem Vektor an einen beliebigen Punkt der Ebene kleben. Dann landet man an einem Punkt mit Abstand 18.
guess Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebene - gerade
was meinst du mit normieren? was macht man da? oder wie komme ich auf (2/3; 1/3; 2/3)?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ebene - gerade
Die Tischplatte ist eine Ebene (du musst dir nur vorstellen, dass die Tischplatte sich durchs ganze Universum zieht) und ein Tischbein ist der Normalvektor der Ebene, weil das Tischbein ja im rechten Winkel auf die Tischplatte steht.
Nun kippe ich den Tisch ein bisserl. Dann hast du eine ganz neue Lage der Tischplatte ( also eine ganz andere Ebene) und dein Tischbein hat nun eine ganz andere Richtung.

Wenn ich den Tisch wegräume und du nie gesehen hast, wie ich den gekippt gehalten hab, was muss ich dir nun bekannt geben, damit du die genau gleiche Lage des gekippten Tisches nachbauen kannst?

Ich muss dir einen Punkt zeigen, der auf der Tischplatte drauf war - denn sonst weißt ja nicht, wo ich den im Wohnzimmer stehen gehabt hab. Und ich muss 2 Bleistifte genau so an den Punkt halten, damit du auf diese 2 Bleistifte die Tischplatte drauf legen kannst. Somit weißt dann GENAU, in welcher Lage die Tischplatte war und wo sie sich im Wohnzimmer befunden hat.
Die 2 Bleistifte sind die Richtungsvektoren der Ebene.
Hätte ich dir nur einen Bleistift gegeben, dann hättest du die Tischplatte nicht eindeutig drauf legen können.
Daher braucht man 2 Richtungsvektoren, um die Lage einer Ebene zu bestimmen.

Wenn du nun diese 2 Richtungsvektoren miteinander kreuzt, also Kreuzprodukt machst, so erhältst du die Richtung des Tischbeins, also den Normalvektor der Ebene.

Denn es hätte auch genügt, wenn ich dir einen Punkt der Tischplatte gegeben hätte und ein Tischbein dran gehalten hätte, sodass du oben die Tischplatte genau im rechten Winkel dran halten kannst.

Daher würd es reichen, wenn ich dir einen Punkt bekannt gebe und den Normalvektor der Ebene.(= Tischbein), damit du den Tisch genau in der gleichen Lage, wie ich ihn gekippt gehalten hab, nachbauen kannst.

Daher gibts nun 2 Möglichkeiten, wie ich eine Ebene bekannt geben kann.

X = Punkt + t * Richtungsvektor1 + u * Richtungsvektor2

oder:

Du machst Kreuzprodukt deiner 2 Richtungsvektoren, dann hast den Normalvektor der Ebene und setzt in diese Formel ein:

Normalvektor * X = Normalvektor * Punkt


Noch was:

Ein Tisch hat ja 4 Tischbeine und jedes hat dieselbe Richtung. Also ist jedes Tischbein ein und derselbe Normalvektor.

Ein Vektor ist nicht fixiert im Raum. Du kannst das Tischbein in die Hand nehmen und in den Punkt hineinversetzen, in den DU ihn versetzen willst. Aber wenn du das Tischbein versetzt, dann immer mit der gleichen Richtung und Länge.

Das heißt:

4 Tischbeine = 1 Normalvektor der Ebene, weil alle 4 Tischbeine ja in dieselbe Richtung zeigen.

Deine letzte Frage ist ein bisserl uneindeutig gestellt.
Welchen Punkt sollst du nun berechnen? Von wo zu wo soll der Abstand 18 sein?

lg kiki


edit:

Du brauchst den Einheitsvektor des Tischbeines.
Der Einheitsvektor hat die Länge 1.

Das heißt, du schneidest dein Tischbein so ab, dass es nur noch 1 cm lang ist, aber noch genau in die Richtung zeigt.

Wenn du den Vektor ( 2 / 2 / 1 ) hast, dann ist der ja 3 cm lang. Wenn du nun haben willst, dass der nur noch 1 cm lang ist, dann musst du jede Koordinate durch 3 dividieren.

Daher ist nun der Einheitsvektor: ( 2/3 // 2/3 // 1/3)

Und wenn du haben willst, dass der nun 18 cm lang sein soll, dann multiplizierst jede Koordinate mit 18. Dann hast die komplett gleiche Richtung, aber der Vektor ist 18 cm lang.

Denn, wenn du einen Punkt berechnen willst, dann gilt:

Gesuchter Punkt = gegebener Punkt + Vektor(vom gegebenen Punkt zum gesuchten Punkt)

Und dein 18cm langer Vektor reicht nun vom gegebenen Punkt bis zum gesuchten Punkt.

lg kiki
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Normieren heisst man kürzt ihn auf die Länge 1. Da der Vektor eh nur die Richtung angeben soll kann man das auch ungestraft machen.
guess Auf diesen Beitrag antworten »

wow! das war die beste erklärung die ich je bekommen habe, ich glaube jetzt versteh ich das system auch schön langsam. dankee!

ich soll einen beliebigen punkt, ich nenn den jetzt mal U, ermitteln, der von der ebene X=(1/2/1) + s.(-2/2/1) + t.(-3/2/2) den abstand 18 hat.

das heisst, ich muss den richtungvektor mal 18 nehmen, oder?

aber wie mach ich, ich hab ja koordinaten gegeben und keine längen. und jede koordinate des richtungsvektors mal 18. multiplizieren wäre zu einfach Augenzwinkern
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Lies mal mein Edit bei meinem obigen Beitrag
guess Auf diesen Beitrag antworten »

wow super danke!

jetzt hab ichs verstanden Big Laugh
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst aber nicht einen Punkt berechnen, der auf der Ebene drauf liegt, sondern einen, der 18 cm von der Tischplatte entfernt ist.
Ein Abstand geht immer im rechten Winkel von irgendwo weg.

Also brauchst du den Normalvektor der Ebene und den musst auf 18 cm Länge bringen. Dann nimmst irgendeinen PUnkt der Ebene und setzt das 18 cm lange Tischbein dran, denn dann hast den Punkt berechnet, der am Ende des Tischbeins ist. Und das berechnest eben mit der Formel, die ich dir da oben gegeben hab:

Gesuchter Punkt = gegebener Punkt + Vektor(vom gegebenen zum gesuchten Punkt)

lg kiki
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