Parametergleichung für Ebene

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13.09.2007, 15:22	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametergleichung für Ebene Hallo, ich soll folgende Aufgabe lösen: Bestimme eine Parametergleichung für die Ebene E. $\begin{eqnarray} E: X_1=0 \end{eqnarray}$ Meiner Meinung nach ist das gar keine Ebene, sonder ein punkt $\begin{eqnarray} P (0/0/0) \end{eqnarray}$ bzw. Der Nullvektor. oder was meint ihr? Edit: Hups, falsches Forum, bitte nach Geometrie verschieben...
13.09.2007, 15:26	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, das ist schon eine ebene in der gleichung $\begin{eqnarray} x_1 = 0 \end{eqnarray}$ ist es völlig egal, was $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ machen, also kannst du einfach mal zwei gleichungen hinzufügen: $\begin{eqnarray} x_2 = r = 0 + 1 \cdot r + 0 \cdot s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 = s = ... \end{eqnarray}$
13.09.2007, 15:45	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh, also so: $\begin{eqnarray} E: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann ändere ich für mehr Eleganz die Skalare: $\begin{eqnarray} E: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ;r;s\in \mathbb R \end{eqnarray}$ zufrieden? Edit: Oh, man kann den "Stützvektor" noch weglassen, oder? $\begin{eqnarray} E: r\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ;r;s\in \mathbb R \end{eqnarray}$
13.09.2007, 15:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die x- "Skalare" in der ersten Zeile sind unschön (weil leicht mit den allgemeinen Koordinaten verwechselbar), aber sonst Jawoll! mY+
13.09.2007, 15:57	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann Danke euch beiden! Die "x-Skalare-Schreibweise" habe ich mir von meiner Lehrerin abgeguckt...
13.09.2007, 16:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn x_2, x_3 die Koordinaten von Punkten bezeichnen, wie es üblich ist, ist diese Schreibweise schlichtweg falsch. Aus diesem Grund bezeichnet man ja die Parameter mit anderen Buchstaben, nur nicht mit x und y oder z. Schau lieber nochmals genau nach, bevor wir der Lehrerin an den Hals springen mY+
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13.09.2007, 16:49	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe meine Tafelmitschrift vor mir liegen, wir haben tatsächlich x_2 und x_3 als Skalare genomen und diese dann, so wie ich hier auch, im nächsten Schritt umbenannt. Ich verstehe aber nicht ganz, warum das falsch ist, denn wenn ich das ausmultipliziere hab ich ja wieder meine Koordinaten. Man hat doch eigentlich X2 und X3 bzw. r und s nur ausgeklammert, oder? Skalare sind doch eigentlich nur ausgeklammerte Faktoren, oder nicht?
13.09.2007, 17:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allein, dass dies dann umbenannt wurde, zeigt, dass es dann sonst unweigerlich zu Kollisionen kommen würde. Zuerst stand es so: $\begin{eqnarray} E: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ DAS ist schon mal unvollständig, denn links sollte der Vektor X stehen: $\begin{eqnarray} E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{X} \end{eqnarray}$ hat aber dieselben Koordinaten wie die "Skalare", nämlich x1, x2, x3, also ist $\begin{eqnarray} E: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn du das zeilenweise ausmultiplizierst, kommt man nun unweigerlich in die Bredouille, denn $\begin{eqnarray} x_1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = x_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 = x_3 \end{eqnarray}$ _________________ Das gibt zur Verwirrung Anlass, weil es nicht die gesuchte Parametergleichung ist und weil die einzelnen Aussagen zufällig auch nicht direkt falsch sind. Die linken x sind jedoch die allgemeinen Koordinaten eines beliebigen Ebenenpunktes, die rechten sind die skalaren Parameter, also bezeichnen sie nicht das Gleiche. Hingegen ist bei $\begin{eqnarray} E: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3 = t \end{eqnarray}$ alles eindeutig und klar. mY+
13.09.2007, 17:32	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke, habs jetzt verstanden! Da kann man mal sehen, zu was es führt, wenn man solche "Unwichtigkeiten" wie $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ weglässt! Dann werd ich wohl mal meine Lehrerin darauf hinweisen, dass es doch sehr unglücklich ist, dass so aufzuschreiben...

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