DGL für Determinante der Fundamentalmatrix

13.09.2007, 18:44

vektorraum

DGL für Determinante der Fundamentalmatrix

Hi!

Wir haben folgenden Satz aufgeschrieben:

Sei $\begin{eqnarray*} M=M(x) \end{eqnarray*}$ eine Fundamentalmatrix von $\begin{eqnarray*} y'=Ay \end{eqnarray*}$ mit einer Matrix $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij}) \end{eqnarray*}$ . Wir betrachten also ein lineares homogenes System erster Ordnung. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\dd}{\dd x}(\det M(x))=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\right)\cdot \det(M(x)) \end{eqnarray*}$

wobei die Summe die Spur der Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sein soll.

Erstmal eine Frage:

Wie leitet man denn allgemein eine Matrix ab??? Da liegt dann nämlich der Schlüssel im Beweis, den ich nicht verstehe. Dort ist es ungefähr so formuliert:

Determinanten werden also differenziert, in dem man jede einzelne Zeile differenziert und die einzelnen Ergebnisse addiert verwirrt

Sorry, vielleicht ist die Formulierung blöd. Können wir das mal bitte an einem Beispiel machen, reicht ja auch eine $\begin{eqnarray*} (2\times 2)- \end{eqnarray*}$ Matrix.

Dann die nächste Frage:

Wir haben das für die Matrix M als Fundamentalmatrix aufgeschrieben. In der Literatur habe ich gelesen:

$\begin{eqnarray*} \det M'(x)=\text{spur} A\cdot \det(M(x)) \end{eqnarray*}$

Hier wird also die Matrix genommen aus der homogenen DGL von oben?

Ist das eine ganz andere Aussage oder äquivalent???

Dieser Satz wird in der Literatur auch als Satz von Liouville bezeichnet.

Vielen Dank für eure Hilfe! Würde mich freuen, wenn ich den Beweis nachvollziehen kann.

Wink

Edit: Fehler korrigiert.

14.09.2007, 13:10

Orakel

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RE: DGL für Determinante der Fundamentalmatrix
zu der ersten frage: du sollst ja nicht eine matrix ableiten, sondern die determinante einer matrix. hier solltest du also die definition der determinante über die symmetrischen gruppen $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ vom grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ benutzen! (vgl. lineare algebra). dann sollte dir der beweis klar sein, indem du die produktregel verwendest!

zur zweiten frage:

die differentialgleichung, die du da aufgeschrieben hast ist falsch, denn die dimensionen stimmen nicht! rechts steht eine $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ matrix und links ein skalar!

14.09.2007, 17:00

vektorraum

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RE: DGL für Determinante der Fundamentalmatrix
Sorry, mit der Formel hatte ich mich vertippt - habe es jetzt mal geändert. Jetzt stimmt es.

Leider verstehe ich nicht so richtig was du meinst. Ich schreibe doch mal den Beweis auf:

Sei $\begin{eqnarray*} M=M(x) \end{eqnarray*}$ eine Fundamentalmatrix. Nach Regel für Differentation einer Determinante ist

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\dd}{\dd x}(\det M(x))=\sum_{i=1}^{n}\left(\det \begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{i1}' & \ldots & y_{in}' \\ \vdots&&\vdots\\ y_{n1}&\ldots &y_{nn} \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ .

D.h. die i-te Zeile wurde differenziert.

Determinanten werden also differenziert, in dem man jede einzelnde Zeile differenziert und die einzelnden Ergebnisse addiert:

$\begin{eqnarray*} =\sum_{i=1}^{n}\det \begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \sum_{j=1}^{n}a_{ij}y_{j1} & \ldots & \sum_{j=1}^{n}a_{ij}y_{jn} \\ \vdots&&\vdots\\ y_{n1}&\ldots &y_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\cdot \det \begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{i1} & \ldots & y_{in} \\ \vdots&&\vdots\\ y_{n1}&\ldots &y_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist also unser Beweis dafür gewesen. Kann mir da mal jemand auf die Sprünge helfen bitte, vlt an einem Beispiel???

Danke schön, sehr lieb von euch Wink

14.09.2007, 18:35

therisen

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Hier mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \left(\det\begin{pmatrix} a(x) & b(x)\\ c(x)&d(x) \end{pmatrix}\right)'=(a(x)d(x)-b(x)c(x))' = a'(x)d(x)+a(x)d'(x)-b'(x)c(x)-b(x)c'(x) = \det\begin{pmatrix}a'(x)&b'(x)\\c(x)&d(x) \end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}a(x)&b(x)\\c'(x)&d'(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

14.09.2007, 18:38

Tomtomtomtom

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RE: DGL für Determinante der Fundamentalmatrix

Zitat:

Original von vektorraum

Sei $\begin{eqnarray*} M=M(x) \end{eqnarray*}$ eine Fundamentalmatrix. Nach Regel für Differentation einer Determinante ist

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\dd}{\dd x}(\det M(x))=\sum_{i=1}^{n}\left(\det \begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{i1}' & \ldots & y_{in}' \\ \vdots&&\vdots\\ y_{n1}&\ldots &y_{nn} \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ .

Das geht verhältnismäßig einfach mit vollständiger Induktion, ist eignetlihc nur Schreibarbeit aber nicht schwierig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} =\sum_{i=1}^{n}\det \begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \sum_{j=1}^{n}a_{ij}y_{j1} & \ldots & \sum_{j=1}^{n}a_{ij}y_{jn} \\ \vdots&&\vdots\\ y_{n1}&\ldots &y_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da wird nur das Differentialgleichungssystem eingesetzt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} =\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\cdot \det \begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{i1} & \ldots & y_{in} \\ \vdots&&\vdots\\ y_{n1}&\ldots &y_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt nimmst du die eine Zeile mit den Summen auseinander, und schreibst die Matrix als Summe von n Matrizen. Nach der Summenregel für Determinanten kannst du dann die Determinante vor jede Matrix schreiben. Dabei sollte dir auffallen, daß bei jeder außer einer Matrix zwei Zeilen linear abhängig sind, d.h. die Determinante ist 0. Und die eine, die übrigbleibt, ist das was da steht.

Das sieht etwa verwirrend aus, aber die Determinante in deiner letzten Zeile ist ja gar nicht mehr vom Summationsindex abhängig, d.h. die kannst du auch wieder davorziehen.

14.09.2007, 19:00

vektorraum

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@therisen: Vielen Dank für das Beispiel. Das hat die letzte Erklärung nochmal verstärkt!

@tomtom...: Finger1

Den ersten zum zweiten Schritt habe ich verstanden - ist eigentlich auch klar, nach dem ich nochmal nachgeblättert habe, welche Notation zu y'=Ay äquivalent ist.

Der letzte Schritt ist mir leider noch nicht ganz klar. Also ich habe dann ja ähnlich therisens Beispiel eine Summe von Determinanten, bei deren Matrizen die i-te Zeile differenziert wurde. In den einzelnen Matrizen haben wir jetzt wieder welche, da ja die Summenschreibweise wieder äquivalent zu der Matrixschreibweise ist (mmhh, blöd formuliert). Also ich meine folgendes:

$\begin{eqnarray*} =\det \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n}a_{1j}y_{j1} & \ldots & \sum_{j=1}^{n}a_{1j}y_{jn}\\ y_{21} & \ldots & y_{n2}\\ \\\vdots&&\vdots\\ y_{n1} &\ldots & y_{nn} \end{pmatrix} +\ldots +\det \begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n}\\ y_{21} & \ldots & y_{n2}\\ \\\vdots&&\vdots\\ \sum_{j=1}^{n}a_{nj}y_{j1} & \ldots & \sum_{j=1}^{n}a_{nj}y_{jn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Erstmal so weit richtig?

14.09.2007, 19:02

WebFritzi

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Nun, das ist ja nichts anderes als das zweite Zitat in TTTT's Beitrag ausgeschrieben.

14.09.2007, 19:20

vektorraum

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Zitat:

Original von WebFritzi
Nun, das ist ja nichts anderes als das zweite Zitat in TTTT's Beitrag ausgeschrieben.

Ja, ich weiß. Aber ich sehe im Moment leider nicht, welche denn wegfallen sollen, und wie dann so zu sagen der letzte Schritt zu Stande kommt...

14.09.2007, 19:26

WebFritzi

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Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \det\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_k + a\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_k\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}, \end{eqnarray*}$

wo

$\begin{eqnarray*} a_1,\dots,a_n,a\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Zeilenvektoren darstellen sollen.

14.09.2007, 19:39

vektorraum

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Sorry, soll ich jetzt die Summe auseinanderziehen in den Matrizen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n}a_{nj}y_{jn}=\sum_{j=1}^{n}a_{nj}\sum_{j=1}^{n}y_{jn} \end{eqnarray*}$

Aber das bringt mir doch auch nichts???

Ich sehe zumindest nicht, welche Matrizen wegfallen sollen?

14.09.2007, 20:13

Tomtomtomtom

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RE: DGL für Determinante der Fundamentalmatrix
Ja ich war faul und habs nur verbal hingeschrieben, weil Matrizen texen macht irgendwie absolut keinen Spaß, deswegen hab ich auch die vollständige Induktion nicht ausgeführt. Aber mal ausführlich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}\det \begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \sum_{j=1}^{n}a_{ij}y_{j1} & \ldots & \sum_{j=1}^{n}a_{ij}y_{jn} \\ \vdots&&\vdots\\ y_{n1}&\ldots &y_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{i=1}^{n} \left( \det\begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{i-1,1}&\ldots &y_{i-1,n} \\ a_{i1}y_{11} & \ldots & a_{i1}y_{1n} \\ y_{i+1,1}&\ldots &y_{i+1,n} \\ \vdots&&\vdots\\ y_{n1}&\ldots &y_{nn} \end{pmatrix}+\det\begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{i-1,1}&\ldots &y_{i-1,n} \\ a_{i2}y_{21} & \ldots & a_{i2}y_{2n} \\ \ y_{i+1,1}&\ldots &y_{i+1,n}\\ \vdots&&\vdots\\ y_{n1}&\ldots &y_{nn} \end{pmatrix}+\ldots+\det\begin{pmatrix} y_{11} & \ldots & y_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{i-1,1}&\ldots &y_{i-1,n} \\a_{in} y_{n1} & \ldots & a_{in} y_{nn} \\ y_{i+1,1}&\ldots &y_{i+1,n} \\ \vdots&&\vdots\\y_{n1}&\ldots &y_{nn}\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Und von diesen Summanden in der Klammer bleibt nur einer übrig, und zwar der wo die a_ii drinstehen, da bei allen anderen 2 Zeilen linear abhängig sind, und damit die Determinante 0 ergibt.

PS: Ab jetzt will ich einen Euro pro getexter Matrix böse

16.09.2007, 14:16

vektorraum

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RE: DGL für Determinante der Fundamentalmatrix
Danke an alle. Ist jetzt klar.

@tomtomtomtom: Ein Euro für eine Matrix??? Nee, so viel habe ich leider nicht Augenzwinkern

Sag mal, du studierst doch auch in Leipzig, oder??? Bei Günther schon gehabt?

(Bitte PN)

16.09.2007, 19:05

vektorraum

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RE: DGL für Determinante der Fundamentalmatrix
OT: @tomtomtomtom: Sorry, kann dir keine PN zurückschicken. Du hast das vielleicht nicht aktiviert, oder willst das auch gar nicht. Deshalb hier mal meine Message an dich:

Hi,

geht mir genauso. Der Mann ist einfach klasse. Er hat Witz und ist wahnsinnig intelligent. Hab letztes Semester auch schon Funktionentheorie bei ihm gehört. Wird aber wohl glaube ich das letzte gewesen sein.

Hast also schon bei ihm Prüfung gehabt? Darf ich fragen wie es war???

Machst du eigentlich MA-Diplom?

VR

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