Urbilder offener, abgeschlossener Mengen

13.09.2007, 20:43

hmer

Wahr/Falsch Bilder/ Urbilder offener, abgeschlossener Mengen

Hallo mal wieder.

Ich geh gerade ein paar wahr-falsch Fragen durch, bei denen ich meine Antworten begründen soll (als Prüfungsvorbereitung) -- mit Beispielen, Gegenbeispielen...

Lege stets eine stetige Funktion zugrunde.

1.) Die Urbilder offener Mengen sind offen.

Wahr würde ich mal intuitiv sagen, aber was ist da die Begründung?

2.) Die Bilder offener Mengen sind offen.
Falsch. Betrachte z.B.
$\begin{eqnarray*} f: (0, 2\pi) \rightarrow [-1,1] \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$

3.) Die Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen

Falsch. Z.b. eine konstante Funktion $\begin{eqnarray*} f: (0,1) \rightarrow {1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 \end{eqnarray*}$

4.) Die Bilder abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen
Wahr würde ich hier sagen. Was meint ihr?

5.) Die Urbilder kompakter Mengen sind kompakt
Falsch, wieder sinus als Beispiel.

Urbild von [-1;1] ist sin(x) z.B. auf (0, 2pi)

6.) Die Bilder kompakter Mengen sind kompakt
Stimmt.

Vielen dank für euer Feedback!

13.09.2007, 21:11

WebFritzi

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(3) ist richtig. Dein Gegenbeispiel ist nicht korrekt, denn (0,1) ist abgeschlossen. Du musst hier die Relativtopologie betrachten.

13.09.2007, 21:50

therisen

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1) und 3) sind äquivalent. Den Beweis findest du in jedem guten Analysis 2 Buch. In topologischen Räumen definiert man Stetigkeit über diese Bedingung.

2) und 4) sind falsch. Zu 4) betrachte $\begin{eqnarray*} f(x):=\mathrm{e}^x \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} ]-\infty,0] \end{eqnarray*}$ abgeschlossen (nicht kompakt!), aber $\begin{eqnarray*} f(]-\infty,0])=(0,1] \end{eqnarray*}$ ist weder abgeschlossen noch offen.

5) ist falsch, 6) richtig

Was mir aufgefallen ist: Dir ist die Bedeutung von "Urbild" nicht klar. Dein Gegenbeispiel zu 5) ist zwar ein Gegenbeispiel, aber deine Begründung falsch! Das Urbild von [-1,1] ist ganz R (du kannst nicht einfach irgendeine echte Teilmenge des Urbildes wählen).

Gruß, therisen

14.09.2007, 01:32

Marcyman

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6) ist richtig. Wenn gewünscht kann ich einen Beweis angeben. (Ist aber sehr einfach.)

14.09.2007, 09:10

hmer

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Hallo nochmal.

Ich versuch dann mal die "Fehler" auszubessern:

Lege stets eine stetige Funktion zugrunde.

1.) Die Urbilder offener Mengen sind offen.

Wahr; eine solche Charakterisierung haben wir für Stetigkeit:
Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: G \to W \end{eqnarray*}$ ist stetig in G genau dann, wenn Urbilder offener Mengen stets "relativ offen" in G sind. Dabei Ist $\begin{eqnarray*} O \subset G \end{eqnarray*}$ relativ offen in G, wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in O \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} B_\delta(x) \cap G \subset O \end{eqnarray*}$

2.) Die Bilder offener Mengen sind offen.
Falsch. Betrachte z.B.
$\begin{eqnarray*} f: (0, 2\pi) \rightarrow [-1,1] \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$

3.) Die Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen

Richtig meint ihr. Die Begründung ist mir noch nicht ganz klar. Aber da ich weiß, dass Urbilder offener Mengen offen sind kann man das genau so auch formulieren, nämlich das Komplement einer offenen Menge ist ja eine abgeschlossene.

4.) Die Bilder abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen
Falsch. Ich darf das nicht mit Kompaktheit verwechseln.

Das Beispiel ist mir nur nicht so ganz klar. Also $\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, dazu muss das Komplement offen sein. Hier ist das Komplement $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$ , hier scheine ich die Bedeutung des Symbols "unendlich" nicht so wirklich verstanden haben...

5.) Die Urbilder kompakter Mengen sind kompakt
Falsch, wieder sinus als Beispiel.

Urbild von [-1;1] ist sin(x) auf IR

6.) Die Bilder kompakter Mengen sind kompakt
Hier würde ich aber dennoch sagen, dass das stimmt, da ich ja nur stetige Abbildungen betrachte. Oder was wäre da ein Gegenbeispiel?

G kompakt, $\begin{eqnarray*} f: G \rightarrow W \end{eqnarray*}$ . Z.z. f(G) kompakt.
Als Beweis hätte ich hier gedacht, dass man sagt: sei $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ eine Folge von Bildpunkten in f(G), dann gibt es dazu eine Folge von Urbildern $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_k) = y_k \end{eqnarray*}$ . Da G kompakt ist, besitzt (x_k) eine in G konvergente Teilfolge.

$\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in G: x_{k,l} \rightarrow x_0 \end{eqnarray*}$
Da f stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} y_{k,l} = f(x_{k,l}) \rightarrow f(x_0) =: y_0 \in f(A) \end{eqnarray*}$ , d.h. ich habe zu der Folge von Bildpunkten auch eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} y_{k,l} \end{eqnarray*}$ , d.h. das Bild ist kompakt.

Vielen dank für euer weiteres Feedback!

Gruß hmer

14.09.2007, 10:46

therisen

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Ja, 6) ist natürlich richtig (und von fundamentaler Bedeutung), das oben war ein Copy&Paste-Fehler Hammer

14.09.2007, 13:07

hmer

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und was meinst du bei 4)

Kannst du mir das kurz erklären?

gruß hmer

14.09.2007, 13:20

therisen

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Du scheiterst also daran, einzusehen, dass $\begin{eqnarray*} (-\infty,0]=:M \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ( Big Laugh

) ist?

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=a \end{eqnarray*}$ . Als konvergente Folge ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ beschränkt, d.h. es gibt eine Zahl $\begin{eqnarray*} u\geq0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} -u\leq a_n\leq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} -u\leq a\leq0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ . Folglich ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

Gruß, therisen

Edit (Dual Space). @hmer: Lass dich von dem " Big Laugh

" nicht irritieren - der hat seine eigene Geschichte. Augenzwinkern

16.09.2007, 10:58

hmer

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hallo theriesen.

ich wähne zu verstehen.
du zeigst, dass für jede folge, der grenzwert ein berührpunkt der menge ist. also quasi das folgenabgeschlossenheitskriterium.

ich wollte nun wissen, ob man die argumentation auch anders machen kann.

wir haben aus dem begriff offenheit gefolgert, dass in einem reellen normierten Vektorraum V gilt:

(1): $\begin{eqnarray*} V, \emptyset \end{eqnarray*}$ offen
(2): $\begin{eqnarray*} O_1, O_2 \end{eqnarray*}$ offen, so auch : $\begin{eqnarray*} O_1 \cap O_2 \end{eqnarray*}$
(3): Vereinigung einer Familie offener Mengen aus V ist wieder offen.

Wenn ich den Vektorraum $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, |.|) \end{eqnarray*}$ betrachte, dann ist doch wegen diesem Satz (ich glaube damit wird später der Begriff Topologie eingeführt) \mathbb R offen aber auch gleichzeitig abgeschlossen, wenn wir sagen, dass eine Menge abgeschlossen ist, wenn das Komplement offen ist, oder?

Wenn ich jetzt zeigen will, $\begin{eqnarray*} (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ abgeschlossen g.d.w. das Komplement $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ offen ist.

Und das ist ja dann klarerweise der Fall, oder?

Vielen dank für euer Feedback!
hmer

16.09.2007, 11:51

therisen

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Zitat:

Original von hmer
Wenn ich jetzt zeigen will, $\begin{eqnarray*} (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ abgeschlossen g.d.w. das Komplement $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ offen ist.

Und das ist ja dann klarerweise der Fall, oder?

Ja. Genauso klar ist aber, dass $\begin{eqnarray*} (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist Augenzwinkern

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