BinomialKoeff. und Induktion

14.09.2007, 12:24

Jimbo

BinomialKoeff. und Induktion

Hallo,

ich hab wieder ein Problem bei einer Aufgabe:

Ich soll diese Formel mit Induktion beweisen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r \\ r \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} r+1 \\ r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r+2 \\ r \end{pmatrix} + ... + \begin{pmatrix} n-1 \\ r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ r+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (ich bin schon fertig aber ich bin mir nicht sicher ob ich am Anfang richtig argumentiert habe) .

1.) n = 1 : Damit ergibt sich aber
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ r+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und da das obere immer größer gleich dem unteren sein muss ergibt sich doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Kann man so argumentieren? also wenn man n = 1 wählt ergibt sich zwangsläufig r=0?

ah ehe ichs vergesse in der Aufgabe steht drin: das man die Formel beweise n soll für ein beliebiges aber festes r ! (bitte das <br> zeug ignorieren

viele grüße

jimbo

Edit (Dual Space): Zeilenumbrüche innerhalb der Latex-Tags entfernt.

14.09.2007, 12:32

kiste

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Die Schreibweise mit dem ... und auslassen von Summanden ist nicht immer eindeutig. Man kann es hier deuten als r<n oder r<=n. Je nachdem musst du den Induktionsanfang überprüfen. Aber hier ergibt sich kein großer Unterschied so das ich sagen würde es ist richtig

14.09.2007, 12:38

Jimbo

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ok vielen dank , ich wusste eben nicht ob es mathematisch "einwandfrei" ist

gruß Jimbo

14.09.2007, 14:03

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Die Induktion findet über Variable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bei festem Wert $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ statt. Daher genügt es nicht, im Induktionsanfang nur $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten, da man ansonsten die Behauptung auch nur für eben jenes $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ beweist - und das ist zuwenig. unglücklich

14.09.2007, 15:56

Jimbo

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hm so ein mist ! also für r=1 geht der Induktionsanfang nicht.
ich probiers gleich nochmal

aber ich hab ganz kurz eine andere frage. Der Binomialkoeffizient und die Fakultät sind ja eng verwand. Kann ich mir den Unterschied zwischen den beiden so erklären: Bei der Fakultät zählt man ja alle kombinationen ( aber ohne das die Elemente doppelt gezählt werden) und beim Binomialkoeffizient ist es doch so das man aus allen kombinationen sozusagen eine "Stichprobe nimmt" ( hm ich weiß nicht wie ich es besser beschreiben soll) z.b.

wenn ich die buchstabenkombination habe: abc mit 3! bekomm ich alle kombinationen und wenn ich die Stichprobe haben will ( z.b. wie oft ich das "b" tauschen kann mach ich doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich mir das so erklären oder ist das komplett falsch?

14.09.2007, 17:27

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Schau deine Behauptung nochmal genau an:

Die Summe links ist überhaupt nur für $\begin{eqnarray*} n\geq r \end{eqnarray*}$ definiert, also ist der Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} n=r \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

14.09.2007, 17:31

Jimbo

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dann hab ich aber laut gleichung das hier:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r+1 \\ r+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das stimmt doch nicht

EDIT von Calvin
Zeilenumbrüche aus LaTeX entfernt

14.09.2007, 17:34

Jimbo

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Ich wäre dir wirklich dankbar ob du mir sagen könntest ob meine "annahme" (die ganz kurze frage) richtig ist, da das zu meinem Gesamtverständnis beiträgt

14.09.2007, 17:38

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Zitat:

Original von Jimbo
dann hab ich aber laut gleichung das hier:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r+1 \\ r+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das stimmt doch nicht

Also bei mir ist $\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$ richtig. Augenzwinkern

14.09.2007, 17:44

Jimbo

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ohh man bin ich doff stimmt natürlich Hammer

14.09.2007, 20:21

therisen

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Hier geht's weiter: Unterschied zw. Fakultät und Bin.koeff.

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