Genie gesucht - Extremum bei Summation Modalwert

14.09.2007, 13:56

1of1

Genie gesucht - Extremum bei Summation Modalwert

Hi zusammen, Wink

ich suche das Extremum (Maximum) folgender Summation...

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum \limits_i |t_i - t_0| }{\sum \limits_i d_N } \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} t_0 = mod_i \{t_i \} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} d_N = \max_i |t_i - t_0| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Ich vermute, dass es kein Maximum gibt, kann es aber nicht beweisen / herleiten. verwirrt

Gelingt das hier jemanden?! Gott

Danke und schöne Grüße aus München,
Flo

Edit:
Ach ja, {t_i} und i (respektive n bei i=1..n) sind die Variablen.

t_0 ist der Modalwert der t_i's, also der am häufigsten realisierte Wert aus Q.

Kann bei geschickter Wahl der t_i's und des Laufindexes i die Summation maximiert werden?
Frage also anders formuliert: was ist der Wertebereich des Ausdrucks?

Modedit: Post zusammengeführt

14.09.2007, 14:15

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Zunächst mal braucht es wohl ein Genie mit hellseherischen Kräften, um das ganze zu verstehen:

Was verstehst du z.B. unter $\begin{eqnarray*} mod_i \{t_i \} \end{eqnarray*}$ ?

Du summierst und maximierst über $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ - ich nehme an, das ist jeweils die Kurzform für $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ ? Dann wäre $\begin{eqnarray*} \sum_i d_N \end{eqnarray*}$ aber eine überkomplizierte Schreibweise für $\begin{eqnarray*} n\cdot d_N \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

14.09.2007, 14:23

1of1

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Hi,

sorry... Forum Kloppe

Ich hab es oben gemerkt, dass es nicht so präzise war und daher das parallel wohl beigefügt.

$\begin{eqnarray*} mod_i \end{eqnarray*}$ = Modalwert, der am häufigsten realisierte Wert der t_i's aus Q. Also z.B. {1,4,7,8,1,3}, Modalwert = 1. Falls nicht eindeutig, Modalwert = random.

Ich summiere über i $\begin{eqnarray*} i=1, \ldots , n \end{eqnarray*}$ und maximiere über $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_i d_N = n \cdot d_N \end{eqnarray*}$ genau... Augenzwinkern

Danke!!

14.09.2007, 14:29

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Tja, das Supremum über alle möglichen Folgen $\begin{eqnarray*} t_1,\ldots,t_n \end{eqnarray*}$ ist gleich 1. Das es nicht größer als 1 ist, sollte klar sein. Und das man beliebig nahe an die 1 herankommt, schafft man mit einfach konstruierten Beispielen.

14.09.2007, 14:36

1of1

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Ja, das dachte ich auch erst. Stimmt meines Erachtens aber nicht.

Angenommen, $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ bis auf eines sind identisch, dann würde der ganze Ausdruck eigentlich gegen 1 gehen (da man bei einem intuitiven Start "irgendwo" immer mehr t_i's mit maximalem Abstand hinzufügt, die den Zähler erhöhen sollen). Der Modalwert ist dann aber schon "umgesprungen" und somit weicht exakt nur noch ein $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ ab und der Ausdruck ist ziemlich genau 0!!! geschockt

Das Problem macht der Modalwert...

Ich vermute mittlerweile, das strebt maximal gegen 0,5... die $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ der Werte ist t_0, $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} - 1 \end{eqnarray*}$ definiert den maximalen Abstand, ein verbleibender Wert in der Mitte.
Oder mit der obigen random-Definition sogar $\begin{eqnarray*} \equiv 0,5 \end{eqnarray*}$

Oder??
Lässt sich das formal beweisen?

14.09.2007, 15:08

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Zitat:

Original von 1of1
Ja, das dachte ich auch erst. Stimmt meines Erachtens aber nicht.

Aber meines Erachtens - Beispiel für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} t_1 = t_2 = 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t_i = 1-\frac{i-3}{n}\varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=3,\ldots,n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < \varepsilon < 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} t_0=0,d_N=1 \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_i |t_i - t_0| }{\sum \limits_i d_N } = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=3}^n \left( 1-\frac{i-3}{n}\varepsilon \right) = 1-\frac{2}{n} -\frac{(n-3)(n-2)}{2n^2}\varepsilon \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ bei festem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist das Supremum des Quotienten in diesem Beispiel gleich $\begin{eqnarray*} 1-\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ . Und wenn wir jetzt davon noch das Supremum über alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nehmen, sind wir beim Wert 1.

14.09.2007, 16:14

1of1

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Es stimmt!! Bin beeindruckt (und halt doch nur ein blöder Ingenieur... Augenzwinkern

)
Supervielen Dank!!!!

Für alle Interessierten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum \limits_{i=3}^n \left( 1 - \frac{i-3}{n} \epsilon \right) \end{eqnarray*}$

lässt sich mit zwei arithmetischen Summen umformen.

Freude

14.09.2007, 17:06

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Was man an dem zugegebenermaßen konstruierten Beispiel sieht:

Der Modalwert besitzt nicht die herausragende Bedeutung, er kann (wie ersichtlich) auch am Rand liegen, fernab vom Gros der Stichprobe.

Ganz anders sieht es schon aus, wenn man für $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ stattdessen den Median der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Werte nimmt. Augenzwinkern

14.09.2007, 19:11

1of1

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Stimmt. Die Formel beschreibt aber mit etwas Aufblähung den abgesicherten im Gegensatz zum abweichenden Anteil eines komplexen Systems - und da ist der Modalwert optimal (je mehr Teilkomponenten *gleichzeitig* getestet wurden umso besser, die sollten dementsprechend dynamisch die Basis bilden). Augenzwinkern

Sitze deswegen jetzt schon den halben Nachmittag daran, das Beispiel zu verallgemeinern und daraus einen Beweis zu machen...
Falls also jemand eine Idee und nochmal etwas Hilfe hat wär ich sehr dankbar?! verwirrt

15.09.2007, 15:37

1of1

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Mmh... eigentlich muss ich das Beispiel gar nicht verallgemeinern, sondern nur zeigen, dass der Term nicht größer als 1 werden kann und dann die Existenz einer Folge zeigen, für die das Supremum = 1 angenommen wird, oder?

15.09.2007, 16:09

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Genau das habe ich oben schon geschrieben.

15.09.2007, 17:06

1of1

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Ok, sorry. War mir nicht 100%ig sicher, ob das auch als formal bewiesen gilt... danke!!! smile

*Topic closed*

Wink

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