lineare Gleichungen + Addit. v. Brüchen

14.09.2007, 16:57

tim taler

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lineare Gleichungen + Addit. v. Brüchen

Hallo zusammen,

beschäftige mich z.Zt. mit lin. Gleichungen und solchen, die sich auf lineare zurückführen lassen. Nun hat mich während der Berechnung aber etwas verwirrt...
nach einigem berechnen stand folgendes da:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{6(x^2-10x+25)} + \frac{5x}{x^2-10x+25} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun sage die Nenner sind verschieden und ich es danach über

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} +\frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd} \end{eqnarray*}$

berechne werde ich nicht mehr froh weil es extrem lange dauert und super unübersichtlich wird.

Wenn ich aber nun sage die Nenner sind gleichnamig bis auf den Unterschied das einer mit 6 multipli. wird, und dem zufolge der Zähler (und Nenner)des anderen Bruches auch noch mit 6 multipli- werden müsste, was komisch klingt, in etwa aber so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{6b} +\frac{c}{b} = \frac{a+6c}{6b} \end{eqnarray*}$

dies führt in meinem Beispiel hierzu

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{6(x^2-10x+25)} + \frac{5x}{x^2-10x+25} = \frac{x^2+6*(5x)}{6(x^2-10x+25)} \end{eqnarray*}$

was wiederum

$\begin{eqnarray*} \frac{x*(x+30)}{6(x^2-10x+25)} \end{eqnarray*}$

entspricht. Und dies ist auch die Lösung.

Nun mal noch ein beliebig gewähltes Beispiel zur Probe

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{7} +\frac{3}{28} \end{eqnarray*}$

es fällt auf das 28/4=7, also

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{7} +\frac{3}{4*7} \end{eqnarray*}$

nun Zähler und Nenner des ersten Bruches mit 4 multipliz. und den Zählerwert des zweiten Bruches hinzuaddieren, ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{7} +\frac{3}{4*7} = \frac{2*4+3}{7*4} \end{eqnarray*}$

also 11/28 was wiederum wahr ist.

Nun die Frage kann ich dieses immer wie beschrieben anwenden?
Und müßte ich nicht auch eigentlich über die Variante"ungleichnamige Nenner" zum richtigen Resultat kommen.

Gruss, tt

14.09.2007, 17:04

vektorraum

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RE: lineare Gleichungen + Addit. v. Brüchen
Hi Tim Taler,

schön, dass du alles so ausführlich aufgeschrieben hast Freude

Freude

So wie du das gelöst hast, ist das korrekt. Wenn der Nenner zweier Brüche "fast" gleich ist, vlt mit Ausnahme eines Faktors, dann brauchst du den anderen Bruch nur mit diesem erweitern, da der Wert des Bruches ja nicht verändert wird.

Das ist auch die richtige Idee gewesen, anstatt ersteres Verfahren anzuwenden. Das wäre doch ziemlich umständlich. Andererseits könnte man da bestimmt wieder irgendwas kürzen. Rauskommen müsste aber dennoch das Gleiche. Problem: die Wahrscheinlichkeit dass du dich verrechnest ist höher Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2007, 17:38

tim taler

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RE: lineare Gleichungen + Addit. v. Brüchen
Hi vektorraum!

Ok, vielen Dank!!!
Allerdings gibt es da nun ein Problem. Ich habe jetzt nochmal ne Seite gerechnet und einen Term erhalten den ich schonmal hatte. Ich drehe mich also im Kreis (und verschwende Papier smile

smile

).

Also der Term wie folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+30x-175}{6x^2-60x+150} = 1 \end{eqnarray*}$

sehe hier aber weder ne bin. Formel noch was zum ausklammern das Sinn macht. Wenn ich alles auseinanderpflücke und erneut berechne stehe ich anschliessend wieder vor oben genanntem Term.
Der term an sich ist bisher richtig aufgelöst, denn er ergibt das richtige Ergebnis von x=13. Wie komme ich jetzt vom Term zum Ergebnis??

Gruss, tt

14.09.2007, 17:46

vektorraum

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RE: lineare Gleichungen + Addit. v. Brüchen
Erstmal ein Formulierungshinweis: Ein Term kann keine Lösung haben, da ja nirgends aus dem Nix ein "=" auftauchen kann. Also entweder löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf, oder du willst einen Term vereinfachen.

Bei dir wird es jetzt wohl um eine Gleichung gehen, da du von einer Lösung sprichst.

Zitat:

Original von tim taler

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+30x-175}{6x^2-60x+150} = 1 \end{eqnarray*}$

Diese gilt es jetzt zu lösen???

Einfach mal mit dem Nenner multiplizieren und dann einfach auflösen, oder was meinst du verwirrt

verwirrt

14.09.2007, 17:59

tim taler

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RE: lineare Gleichungen + Addit. v. Brüchen
man lernt nie aus smile

smile

ich habe

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+30x-175}{6x^2-60x+150} = 1 \end{eqnarray*}$

nach folgendem Schema aufgelöst

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{6(x^2-10x+25)} +\frac{30x}{6(x^2-10x+25)} -\frac{175}{6(x^2-10x+25)} =1 \end{eqnarray*}$

und nach dem auflösen hatte ich wieder dieselbe Gleichung wie oben...

Gruss, tt

14.09.2007, 18:02

vektorraum

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RE: lineare Gleichungen + Addit. v. Brüchen
verwirrt

verwirrt

Warum so umständlich?

Warum machst du nicht einfach

$\begin{eqnarray*} \cfrac{x^2+30x-175}{6x^2-60x+150}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow~x^2+30x-175=1\cdot (6x^2-60x+150) \end{eqnarray*}$

Ich habs mal so ausführlicha aufgeschrieben, damit du siehst, was ich gemacht habe!

Du erhälst nach dem Zusammenfassen eine quadr. Gleichung, die auch zwei verschiedene Lösung hast. D.h. deine 13 als Lösung ist nicht die einzige Augenzwinkern

Augenzwinkern

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14.09.2007, 18:14

tim taler

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RE: lineare Gleichungen + Addit. v. Brüchen
ok, Deine Variante bringt mir folgendes:

$\begin{eqnarray*} 5x^2-90x+325=0 \end{eqnarray*}$

auflösen dieser quadrat. Gleichung ergibt x=13 or x=5
also 2 mögliche Lösungen...

In meinem Buch steht als Lösung nur 13!!!
Das Kapitel heisst lin. Funktionen. Im nächsten Kapitel kommen erst quadrat. Funktionen. Daher bin ich nicht sicher ob ich den von Dir genannten Weg einschlagen darf.
Was mich auch verwundet ist, das bei der Eingabe unserer Gleichung als solches

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+30x-175}{6x^2-60x+150} =1 \end{eqnarray*}$

bei meinem TR nur x=13 rauskommt und von einer zweiten Lösung steht da nix...
Irgendwie merkwürdig?!

Gruss, tt

14.09.2007, 18:27

Co-Sinus

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Die Variante von vektorraum darfst du immer benutzen, denn sie führt zum Ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Führe die Probe durch, dann siehst du, warum 5 nicht als Lösung für x in Frage kommt.

14.09.2007, 18:31

vektorraum

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RE: lineare Gleichungen + Addit. v. Brüchen
Tim Taler,

ich wusste leider nicht, welche Klasse du bist und deshalb habe ich diesen Weg eingeschlagen. Der führt dich aber über quadr. Gleichungen, die du ja jetzt noch nicht lösen kannst.

Als Lösung erhält man bei Anwendung einer entsprechenden Lösungsformel für x=5 und x=13.

Die erste Lösung wird aber ausgeschlossen, da bei Einsetzen jeniger in den Nenner = Null rauskommt. Also entfällt diese Lösung und 13 ist wirklich die einzige.

Wärst du so lieb die Originalaufgabe reinzustellen. Einen Weg mit eurem Kenntnisstand muss es ja auch noch geben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Entschuldige bitte die Verwirrung geschockt

geschockt

14.09.2007, 18:36

tim taler

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bei der Probe mit 13 erhalte ich 1.
bei der Probe mit 5 wir mein Nenner 0. Dividieren durch 0 = undef !

Ok somit weiss ich immerhin schon warum es 5 nicht sein kann, Danke Dir. Ich werde gleich mal die ganze Gleichung posten, denn ich glaube ich soll es ohne ein quadrat. Funktion lösen, denn daher ja auch die Untergliederung im Buch. Und wenn ich ohne qudrat. Gleichung rechne, erhalte ich sicher nur ein Ergebis, wodurch eine Probe überflüssig wäre. Auch wenn eure Methode wahrscheinlich die geschicktere ist...

Gruss, tt

14.09.2007, 18:39

tim taler

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kein Thema, vektorraum. Die Hilfe war schon super und ich kenne prinzipiell auch quadrat. Funktionen und kann diese auch berechnen, nur glaube ich der Aufgabensteller wollte hier eben eine Lösung ohne quadrat. Gleichung...
Aufgabe wird komplett gepostet...

Gruss, tt

14.09.2007, 18:40

vektorraum

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Ja, das wäre so richtig mit der Probe und auch richtig begründet. Da hast du schon mal ein wunderschönes Beispiel für später, dass man sich vorher bei Brüchen mit Variablen im Nenner den Definitionsbereich definieren muss. Merke dir das!

Ja, bitte: poste die Aufgabe, ich werde dann nochmal drüber lesen. Da muss es ja eine ganz einfache Umformung geben, ohne das man Kenntnisse aus quadr. Gleichungen anwendet.

Wir werden dann sehen, welche die geschicktere Lösung ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2007, 18:57

tim taler

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Thema: Lineare Funktionen, Betragsfunktion

Aufgabstellung: Lösen Sie folgende lineare Gleichungen bzw. Gleichungen die sich auf lineare zurückführen lassen:

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{3x-15}- \frac{x-11}{2x-10} = 1 \end{eqnarray*}$

-> subtrahieren v. Brüchen mit ungleichnamigem Nenner

$\begin{eqnarray*} \frac{(2x+1)*(2x-10)-(x-11)*(3x-15)}{(3x-15)*(2x-10)}= 1 \end{eqnarray*}$

-> ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} \frac{4x^2-20x+2x-10-(3x^2-15x-33x+165)}{6x^2-30x-30x+150} = 1 \end{eqnarray*}$

-> zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+30x-175}{6x^2-60x+150} = 1 \end{eqnarray*}$

soweit meine Rechnung.
Und wenn ich mit dieser Gleichung nun ohne das Verwenden einer quadrat. Gleichung fortfahre, wird es sofort sehr unübersichtlich.
Und irgendwie komme ich immer wieder auf diese Gleichung zurück.

Gruss, tt

14.09.2007, 19:14

vektorraum

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Hilft dir folgendes weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{3x-15}- \frac{x-11}{2x-10} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \cfrac{2x+1}{3(x-5)}-\cfrac{x-11}{2(x-5)}=1 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2007, 19:37

tim taler

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ich danke Dir mein lieber vektorraum.
Scheinbar rechne ich zu gerne. Einfach mal nach Sachen zum ausklammern schauen bevor man keine Lust mehr hat Freude

Freude

Gruss, tt

14.09.2007, 19:48

vektorraum

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Hoffe, du hast die richtige Lösung jetzt erhalten. Nach diesem Verfahren kommt man auch gar nicht auf die Idee eine "falsche" Lösung zu erhalten!

Nächste Mal genau hinschauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2007, 20:00

tim taler

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Ja habe ich. Komme auf
65=5x -> x=13

Vielen Dank nochmal, werde daran denken! smile

smile

Gruss, tt

14.09.2007, 20:02

vektorraum

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Zitat:

Original von tim taler
Ja habe ich. Komme auf
65=5x -> x=13

Vielen Dank nochmal, werde daran denken! smile

smile

Gruss, tt

Ja genau, das gleiche habe ich auch raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kein Problem, sei weiter so schön fleißig!

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