Schnittwinkel zweier Ebenen

14.09.2007, 19:04

niccle

Schnittwinkel zweier Ebenen

Also ich hab da mal ein Problem. Und zwar hab ich eine Aufgabe nachgerechnet und es will einfach nicht das richtige rauskommen, wäre toll wenn ihr mir meinen Fehler sagen könntet.

Ich habe zwei Ebenen gegeben:

E1: $\begin{eqnarray*} (\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} ) * \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

E2: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir bei der zweiten den Normalenvektor ausgerechnet.
Ich habe das mit den zwei Gleichungen gemacht, also
I 3x+y-2z=0
II -4x+5z=0

Das hab ich dann alles nach z umgestellt und bekomme für den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich glaube hier liegt schon der Fehler, denn mein Lehrbuch sagt der Normalenvektor lautet: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also wo ist mein Fehler verwirrt

14.09.2007, 19:09

therisen

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Ja, $\begin{eqnarray*} n_{E_2}=\begin{pmatrix}3\\1\\-2 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-4\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-7\\4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis ist also falsch.

Gruß, therisen

14.09.2007, 19:23

niccle

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Wenn ich übers Vektorprodukt gehe komme ich auch auf den richtigen Normalenvektor, aber wenn ich es anders mache nicht. WIeso?

14.09.2007, 19:57

riwe

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RE: Schnittwinkel zweier Ebenen

Zitat:

Original von niccle
Also ich hab da mal ein Problem. Und zwar hab ich eine Aufgabe nachgerechnet und es will einfach nicht das richtige rauskommen, wäre toll wenn ihr mir meinen Fehler sagen könntet.

Ich habe zwei Ebenen gegeben:

E1: $\begin{eqnarray*} (\vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} ) * \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

E2: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir bei der zweiten den Normalenvektor ausgerechnet.
Ich habe das mit den zwei Gleichungen gemacht, also
I 3x+y-2z=0
II -4x+5z=0

Das hab ich dann alles nach z umgestellt und bekomme für den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich glaube hier liegt schon der Fehler, denn mein Lehrbuch sagt der Normalenvektor lautet: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also wo ist mein Fehler verwirrt

dort

3x - 2y +2z = 0

14.09.2007, 20:02

Speed

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Nee Riwe, es geht um E2

niccle, wie hast du das denn nach z umgestellt?

Wenn du das so rechnest würde ich z eliminieren, also 5*I+2*II rechnen, da kommt dann raus:

7x+5y=0

da kannst du dann x=5 und y=-7 setzten.
Dies in II eingesetzt:

-4*5+5z=0 <=> z=4

d.h.:
$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.09.2007, 20:02

niccle

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nein, ich muss doch die beiden Richtungsvektoren der Parameterform nehmen.

14.09.2007, 20:11

therisen

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RE: Schnittwinkel zweier Ebenen

Zitat:

Original von niccle
Ich habe mir bei der zweiten den Normalenvektor ausgerechnet.
Ich habe das mit den zwei Gleichungen gemacht, also
I 3x+y-2z=0
II -4x+5z=0

Das hab ich dann alles nach z umgestellt und bekomme für den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Gleichungssystem stimmt, dein Ergebnis nicht.

14.09.2007, 20:13

riwe

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Zitat:

Original von Speed
Nee Riwe, es geht um E2

niccle, wie hast du das denn nach z umgestellt?

Wenn du das so rechnest würde ich z eliminieren, also 5*I+2*II rechnen, da kommt dann raus:

7x+5y=0

da kannst du dann x=5 und y=-7 setzten.
Dies in II eingesetzt:

-4*5+5z=0 <=> z=4

d.h.:
$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ja ich hatte einen zeilensprung unglücklich

14.09.2007, 20:14

Speed

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in meiner Rechung sind die alle Aufgenommen
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}3x+y-2z = 0 \\ -4x \qquad +5z=0 \end{vmatrix} \\ \Leftrightarrow \begin{vmatrix}15x+5y-10z = 0 \\ -8x \qquad +10z=0 \end{vmatrix} \\ \Leftrightarrow 7x+5y=0 \end{eqnarray*}$

15.09.2007, 11:58

niccle

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Danke ich habe meinen Fehler gefunden.
Nun habe ich auch das richtige Ergebniss raus.

Hab da noch ne Frage und zwar ob mein Ergebniss diesmal stimmt.

E1: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

E2: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Normalenvektor für E1 lautet: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Normalenvektor für E2 lautet: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und somit lautet mein Schnittwinkel: $\begin{eqnarray*} \alpha = 64,025° \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

15.09.2007, 14:06

mYthos

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Das Ergebnis stimmt "fast", es ist gerundet 64,026° Big Laugh

mY+

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Schnittwinkel zweier Ebenen

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