winkel beim billard

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14.09.2007, 19:07	tini-mausi	Auf diesen Beitrag antworten »
winkel beim billard hey ich suche dringend hilfe. also ich habe einen billardtisch mit einer bande, welche durch b: x(index1)-2x(index2)=0 beschrieben wird. im punkt P(0/2) wird eine elastische kugel gestoßen, so das sie im punkt B an der bande reflektiert wird und dann durch Q(3/6,5) geht. jetzt soll ich die koordinaten von B angeben, sowie den einfallswinkel und die Weglänge von P über B nach Q. ich komm nicht so recht weiter. also ersteinmal muss ich doch davon ausgehen, dass einfallswinkel gleich ausfallswinkel gilt oder? dann weiß ich ja das der winkel zwischen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und BP genauso groß ist wie zwischen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und BQ. das hilft aber irgendwie alles nicht. heißt das, dass ihre skalarprodukte auch jeweils gleich sind? dann hab ich mir gedacht das die koordinaten von B sein müssen (2 b(index2)/b(index2)) naja vielleicht kann mir ja jemand von euch weiter helfen. das wäre echt super lieb
14.09.2007, 20:02	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee mit den gleich großen Winkeln führt zum Ziel, allerdings musst du auf die Orientierung (d.h. das Vorzeichen) acht geben. Der Punkt auf der Geraden hat die Koordinaten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}2\lambda\\\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Stelle nun die beiden Gleichungen für die Schnittwinkel auf und setze diese gleich - eine Gleichung, eine Unbekannte ( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ). Gruß, therisen
15.09.2007, 00:00	tini-mausi	Auf diesen Beitrag antworten »
sooo vielen dank, bin zur lösung gekommen. also ich habe für B (2/1) heraus. sieht man ja auch an der super zeichnung. vielen dank für die hilfe.
15.09.2007, 13:37	tini -mausi	Auf diesen Beitrag antworten »
so ich hab das nochmal schön alles aufgeschrieben und da is mir was aufgefallen. vielleicht kann mir das ncoh jemand erklären. also ich habe ja $\begin{eqnarray} \frac{- \vec{n} \vec{BP}}{\mid \vec{n} \mid \mid \vec{BP} \mid} = \frac{- \vec{n} \vec{BQ}}{\mid \vec{n} \mid \mid \vec{BQ} \mid} \end{eqnarray}$ nach der einen darin enthaltenen variablen umgestellt. Ich habe diese nciht lambda sondern b genannt. jedenfalls lautet meine letzte zeile dann 1= $\begin{eqnarray} b^{2} \end{eqnarray}$ so und dann könnte doch die lösung eigentlich 1 und -1 sein. aber es muss ja 1 sein. aber wie kann cih das irgendwie beweisen? kann mir da vielleicht noch jemand helfen? wäre super lieb. dankeeeee
15.09.2007, 14:20	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Gleichung hat nur eine Lösung, nämlich die Nullstelle dieser Funktion: Wahrscheinlich quadrierst du irgendwo (das ist keine Äquivalenzumformung) und mogelst so eine Lösung dazu => Probe machen. Gruß, therisen
15.09.2007, 14:59	anne123	Auf diesen Beitrag antworten »
so ich finde meinen fehler nciht und drehe gleich durch also ich werde jetzt meine rechnung in den formeleditor eingeben und vielleicht findest du / ihr ja meinen fehler. dankkkee $\begin{eqnarray} \frac{- \vec{n} \vec{BP}}{\mid \vec{n} \mid \mid \vec{BP} \mid} = \frac{- \vec{n} \vec{BQ}}{\mid \vec{n} \mid \mid \vec{BQ} \mid} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{ \begin{pmatrix} -1 \\2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2x\\ 2-x \end{pmatrix}}{ \sqrt{(-2x)^{2}+ (2-x)^{2}}} = \frac{ \begin{pmatrix} -1 \\2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-2x\\ 6,5-x \end{pmatrix}}{ \sqrt{(3-2x)^{2}+ (6,5-x)^{2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{4}{ \sqrt{(-2x)^{2}+ (2-x)^{2}}} = \frac{10}{ \sqrt{(3-2x)^{2}+ (6,5-x)^{2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4 ( \sqrt{(3-2x)^{2}+ (6,5-x)^{2}}) = 10 (\sqrt{(-2x)^{2}+ (2-x)^{2}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= <br /> \frac{\sqrt{5x^{2} -4x+4}}{\sqrt{5x^{2}-25x+51,25}} -<br /> \frac{4}{10} \end{eqnarray}$ so und wenn ich diese funktion in meinen taschenrechner eingebe bekomme ich auch zwei nullstellen. kann mir jemand sagen was ich falsch mache? das wäre lieb, bin nämlich wirklich am verzweifeln.
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15.09.2007, 15:30	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, was hat denn dort ein Normalenvektor verloren? Du musst doch den Richtungsvektor der Geraden nehmen. Der richtige Ansatz lautet $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix}0-2\lambda\\2-\lambda\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{4\lambda^2+(2-\lambda)^2}\sqrt5}= -\frac{\begin{pmatrix}3-2\lambda\\6.5-\lambda\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{(3-2\lambda)^2+(6.5-\lambda)^2}\sqrt5} \end{eqnarray}$ Mit einziger Lösung $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ (vgl. Funktionsgraph weiter oben). Gruß, therisen
15.09.2007, 16:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch mit dem Normalenvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Vektoren $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BP} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BQ} \end{eqnarray}$ müssen mit diesem jeweils denselben Winkel einschließen. Der Ansatz von anne123 ist somit korrekt. Allerdings ist noch zu beachten, daß $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BP} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BQ} \end{eqnarray}$ nicht kollinear sein dürfen. Die Lösung $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ bei anne123 führt aber gerade auf solche kollineare Vektoren. Somit ist nur $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ im Sinne der Aufgabe tauglich. Ich würde die Aufgabe auch ganz anders angehen. Man bestimmt zunächst den Bildpunkt $\begin{eqnarray} Q' \end{eqnarray}$ bei Spiegelung von $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Dann schneidet man die Gerade $\begin{eqnarray} PQ' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Der Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Orientierungsfragen entfallen. $\begin{eqnarray} b: \ \ x_1 - 2 x_2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h: \ \ 4x_1 + 2x_2 = 25 \end{eqnarray}$ ist das Lot von $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} S \left( 5 \left\| \frac{5}{2} \right. \right) \end{eqnarray}$ ist der Schnitt von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OQ'} = \overrightarrow{OQ} + 2 \, \overrightarrow{QS} = 2 \, \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OQ} \end{eqnarray}$ findet man $\begin{eqnarray} Q' \left( 7 \left\| - \frac{3}{2} \right. \right) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} PQ' \end{eqnarray}$ hat die Gleichung $\begin{eqnarray} x_1 + 2x_2 = 4 \end{eqnarray}$ . Der Schnitt von $\begin{eqnarray} PQ' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} B(2\|1) \end{eqnarray}$ .
15.09.2007, 21:17	anne123	Auf diesen Beitrag antworten »
hey danke die idee ist wirklich cool und viel einfacher. ich farge mcih nur wie du auf die gleichung für das lot kommst, also $\begin{eqnarray} h: \ \ 4x_1 + 2x_2 = 25 \end{eqnarray}$ ist das Lot von $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . das is doch eigentlich ziemlich kompliziert mit dem lot fällen oder? so wie abstandsberechnungen? vielleicht kannst du mir das ja noch einmal genauer erklären. viiiieeellllen liiiiebbbenn dank schonmal.
16.09.2007, 08:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Lot geht ganz schnell. Durch Koordinatentausch und Vorzeichenänderung in der 1. oder 2. Koordinate erhält man aus einem Vektor einen zu ihm orthogonalen Vektor. Das sieht man sofort mit dem Skalarprodukt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -v \\ u \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Jetzt hatte $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Also kann man für $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nehmen, so daß die Geradengleichung so ausschaut: $\begin{eqnarray} h: \ \ 2x_1 + x_2 = \text{???} \end{eqnarray}$ Da nun der Punkt $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ liegen soll, setzt man seine Koordinaten ein und sieht dann, wie groß die drei Fragezeichen sein müssen, damit die Gleichung erfüllt wird: $\begin{eqnarray} h: \ \ 2x_1 + x_2 = \frac{25}{2} \end{eqnarray}$ Und lediglich aus kosmetischen Gründen habe ich diese Gleichung noch mit 2 durchmultipliziert.
16.09.2007, 09:28	anne123	Auf diesen Beitrag antworten »
danke hab alles verstanden und aufgeschrieben. viiielen dank für die große hilfe. ich hab noch eine kleine frage wenns möglich ist :-) und zwar bei dem ersten ansatz mit den winkel zwischen normalenvektor und den Geraden BP und BQ, da wurde ja gesagt die eine lösung mit x=-1 muss sozusagen nicht beachtet werden, weil es dazu führt das BP und BQ kollinear also linear abhängig werden. das hab ich dann auch gesehen, aber wieso dürfen die denn nciht linear abhängig sein? also danke nochmal an alle helfer
16.09.2007, 18:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, bei kollinearen Vektoren hieße das ja, daß die Kugel denselben Weg zurück nimmt, den sie ging, bevor sie auf der Bande auftraf. Das widerspricht doch wohl der Physik und allgemein der Lebenserfahrung.

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