Symmetrische Gruppe S3

14.09.2007, 21:47	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppe S3 Hallo! In meinem Buch (Michael Artin: Algebra) wird die symmetrische Gruppe S3 als Beispiel verwendet. Der Autor beschreibt die Gruppe anhand von zwei Permutationen (Zitat: "...wählen wir zwei bestimmte Permutationen x und y aus"). Dabei ist x die zyklische Permutation (123) und y die Transposition (12)(3). Auf diese Weise beschreibt er die Gruppe vollständig mit den sechs Permutationen: 1,x,x^2,y,xy,x^2y. Mich verwirrt die Formulierung "zwei bestimmte Permutationen", denn wenn ich beispielsweise x = (12)(3) und y = (1)(23) setze, dann kann ich die Gruppe auch (wenn auch etwas komplizierter) definieren und erhalte die Permutationen: 1,x,y,xy,yx,yxy Dürfte die Formulierung denn auch heissen "wählen wir zwei beliebige Permutationen aus"? Oder führt meine Wahl zu irgendwelchen Problemen, sodass man in der Tat die passenden Permutationen wählen muss? Danke & Gruss
14.09.2007, 21:50	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann gewiss keine zwei beliebigen Permutationen rauspicken. Einfaches Gegenbeispiel: Identität und (12)(3).
14.09.2007, 21:56	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Tobias für die rasche Antwort. Da hast du natürlich recht. Ich meinte "echte" Permutationen und habe da die Identität schonmal gedanklich ausgeklammert. Aber anders formuliert: Solange ich mit den zwei gewählten Permutationen sämtliche Permutationen von {1,2,3} herbeiführen kann, bin ich in meiner Wahl völlig frei. Richtig oder falsch?
14.09.2007, 22:10	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst offensichtlich Erzeuger deiner Gruppe. Und da kannst du in der Tat alles nehmen, womit du alle Permutationen deiner Gruppe "konstruieren" kannst. Manche Gruppen haben auch nur einen Erzeuger, die heißen dann zyklisch. Der Autor meint mit "bestimmt" bestimmt, dass x und y nicht beliebig sondern speziell gewählt sein müssen. Allerdings gibt es mit Sicherheit (wie dein Beispiel auch zeigt) zwei andere bestimmte x, y mit denselben Eigenschaften.

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