Gaußsche Glockenkurve

14.09.2007, 22:26

DGL

Gaußsche Glockenkurve

Hallo bräuchte einmal Hilfe bei folgender Aufgabe:

Wie sind die Parameter a und b zu wählen, damit die Kurve $\begin{eqnarray*} y=a*e^{-b* x^{2}} \end{eqnarray*}$ durch die Punkte A=(3,5;12) und B=(8;2,4) verläuft?

Finde keinen Lösungsansatz! verwirrt

14.09.2007, 22:27

WebFritzi

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1. Bedingung: f(3,5) = 12.

14.09.2007, 23:20

DGL

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Zitat:

Original von WebFritzi
1. Bedingung: f(3,5) = 12.

Mir ist klar, dass das eine Bedingung ist.

Im Prinzip sind ja 4 Punkte gegeben: C=-3,5;12) und D=(-8;2,4)
Das Max und das Symmetriezentrum befinden sich auf der y-Achse.

Wenn ich die Funkton z.B. nach b umstelle erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} b=-(\frac{ln\frac{y}{a}}{x^2}) \end{eqnarray*}$

Mir fehlt die Idee, wie ich die 2. Unbekannte eliminiere.

14.09.2007, 23:34

Tomtomtomtom

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Zitat:

Original von DGL
[quote]Original von WebFritzi

Das Max und das Symmetriezentrum befinden sich auf der y-Achse.

Das ist keine zusätzliche Information, das ergibt sich schon aus dem gewählten Ansatz für die Funktion.

Du hast eine Kurve mit 2 Parametern, und zwei Punkte, die auf dieser Kurve liegen. Wenn du jeweils einen Punkt einsetzt, gibt dir das eine Gleichung in a und b. Insgesamt durch zwei Punkte also 2 Gleichungen jeweils denselben 2 Unbekannten (also ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten). Dieses kannst du versuchen zu lösen.

15.09.2007, 09:45

Leopold

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Und wenn man die gegebenen Koordinaten als exakte Werte annimmt, dann ist

$\begin{eqnarray*} y = 12 \cdot 5^{\frac{49}{207}} \cdot \operatorname{e}^{\frac{- 4 \ln{5}}{207} x^2} = 12 \cdot 5^{\frac{49}{207}} \cdot 5^{- \frac{4}{207} x^2} = 12 \cdot 5^{\frac{49 - 4x^2}{207}} \end{eqnarray*}$

die exakte Lösung. Näherungsweise mit Dezimalbrüchen ist das

$\begin{eqnarray*} y = 17{,}565 \cdot \operatorname{e}^{-0{,}0311 x^2} \end{eqnarray*}$

16.09.2007, 09:22

DGL

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Zitat:

Original von Leopold
Und wenn man die gegebenen Koordinaten als exakte Werte annimmt, dann ist

$\begin{eqnarray*} y = 12 \cdot 5^{\frac{49}{207}} \cdot \operatorname{e}^{\frac{- 4 \ln{5}}{207} x^2} = 12 \cdot 5^{\frac{49}{207}} \cdot 5^{- \frac{4}{207} x^2} = 12 \cdot 5^{\frac{49 - 4x^2}{207}} \end{eqnarray*}$

die exakte Lösung. Näherungsweise mit Dezimalbrüchen ist das

$\begin{eqnarray*} y = 17{,}565 \cdot \operatorname{e}^{-0{,}0311 x^2} \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist mir bekannt. Wäre nett, wenn jemand mir den Ansatz für das Gleichungssystem aufzeigt. Ich peil es nicht! Hammer

16.09.2007, 11:36

magneto42

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Stelle doch beide Gleichungen nach Rechenvorschrift auf:

$\begin{eqnarray*} y_1 = a \cdot e^{-b \cdot x_1^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2 = a \cdot e^{-b \cdot x_2^2} \end{eqnarray*}$

Wenn Du dann die rechten und linken Seiten jeweils dividierst, fällt eine Unbekannte schon einmal weg. Der Rest ist Umformung.

16.09.2007, 14:55

WebFritzi

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Zitat:

Original von DGL
Wäre nett, wenn jemand mir den Ansatz für das Gleichungssystem aufzeigt.

Das habe ich bereits oben getan. Ein wenig überlegen musst du halt auch. Augenzwinkern

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