Topologie-Newbie

15.09.2007, 12:44

beuteltier

Topologie-Newbie

hallo
ich habe mir aus interesse mal Jänichs "Topologie" vorgenommen. ich bin aber noch ein blutiger anfänger (gerade 2. semester rum), und stolpere gleich im 1. kapitel am anfang über diese anekdote:
Jänich schreibt, er habe als Tutor einen Studenten korrigieren müssen, der nicht verstand, was er falsch machte. In dessen Vorlesung kam der Satz "Eine Menge ist genau dann offen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht".
Die Aufgabe für den Studenten war, folgendes zu zeigen: "Die Menge der inneren Punkte einer Menge ist stets offen."
Der Student meinte, die Aufgabe wäre aufgrund des Satzes trivial.

Nun, ich komme zum gleichen Schluss wie besagter Student. Jänich schreibt aber, dass das so nicht stimme, gibt aber keine nähere Erklärung.

Anfängerfehler? irgendwelche Anregungen? verwirrt

15.09.2007, 13:03

brain man

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Nun ja, ich verstehe das Problem nicht wirklich, aber vielleicht hilft folgende Definition :

Eine Menge M eines metrischen Raumes X heißt offen, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist.
Bzw. :

$\begin{eqnarray*} \forall a \in M & \exists \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ,damit :

$\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(a) \subset M \end{eqnarray*}$

erfüllt ist.

Der Umgebungsberiff ist definiert als :

$\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(a)= \{ x \in M :d(a,x)<\epsilon\} \end{eqnarray*}$

15.09.2007, 13:28

beuteltier

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danke, die definition hilft mir aber im moment nicht weiter.
mein problem war: die menge der inneren punkte einer menge besteht gemäß ihrem wortlaut doch nur aus inneren Punkten. und dieser satz sagt, besteht eine menge nur aus inneren punkten, dann ist sie offen.

das muss laut jänich aber falsch sein. falls nötig (und erlaubt?) kann ich die passage auch zitieren

15.09.2007, 13:54

Tobias

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Der Begriff "innerer Punkt" bezieht sich jeweils auf eine Menge.

Sei $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ die Menge der inneren Punkte von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , dann ist selbstverständlich jeder Punkt $\begin{eqnarray*} x \in M^\circ \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nach Definition. Jeder Punkt aus $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ hat eine Epsilonumgebung, die komplett in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt.
Andersrum kann man ohne Weiteres nicht behaupten, dass jeder Punkt $\begin{eqnarray*} x \in M^\circ \end{eqnarray*}$ auch eine Epsilonumgebung hat, die komplett in $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ liegt, was Voraussetzung für eine offene Menge wäre.

Also unterscheide:
$\begin{eqnarray*} x \in M^\circ \end{eqnarray*}$ innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x \in M^\circ \end{eqnarray*}$ innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$

Also kann man den Satz nicht so "trivial" zeigen, wie der Student angenommen hatte. Das muss nicht bedeuteten, dass die Menge der inneren Punkte einer Menge nicht stets offen ist.

Den Beweis müsste man z.B. so angehen:

Sei $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ nicht offen. Dann gibt es einen Punkt $\begin{eqnarray*} x \in M^\circ \end{eqnarray*}$ , der innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ aber nicht von $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ ist. D.h. in jeder Epsilonumgebung von x existiert ein y, welches kein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist. Dies ist ein Widerspruch, denn ist x innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , dann existiert eine Epsilonumgebung, die komplett in M enthalten ist und jeder Punkt aus dieser Epsilonumgeung ist dann auch innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und somit auch in $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ . (Denn Epsilonumgebungen sind offen und bestehen somit nur aus innerern Punkten).

15.09.2007, 16:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tobias
ist x innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , dann existiert eine Epsilonumgebung, die komplett in M enthalten ist und jeder Punkt aus dieser Epsilonumgeung ist dann auch innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und somit auch in $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ . (Denn Epsilonumgebungen sind offen und bestehen somit nur aus innerern Punkten).

Ohne Widerspruch geht's also auch. Augenzwinkern

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