von X zu X²

11.03.2005, 22:32

pAt84

von X zu X²

Hallo.

Ich habe die dichtefunktion einer stetig verteilten zufallsgröße X gegeben. ich soll nun die verteilungsfunktion und die dichtefunktion der zufallsgröße X² ermitteln. Ich habe keine Ahnung wie.

einfach die Verteilungsfunktion, also die Ableitung der ursprünglichen zu quadrieren erscheint mir zu suspekt.

Ich bitte daher im Hillfe.

Pat

11.03.2005, 22:42

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Zitat:

Original von pAt84
einfach die Verteilungsfunktion, also die Ableitung der ursprünglichen zu quadrieren erscheint mir zu suspekt.

Ist es auch - und vor allem abgrundtief falsch!

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Ausgangs-Zufallsgröße mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ und Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} Y=X^2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ gilt nun nach Definition

$\begin{eqnarray*} F_Y(t)=P(Y<t)=P(X^2<t)=P(|X|<\sqrt{t})=P(-\sqrt{t}<X<\sqrt{t})=F_X(\sqrt{t})-F_X(-\sqrt{t}) \end{eqnarray*}$

Und dann folgt weiter

$\begin{eqnarray*} f_Y(t)=\frac{d}{dt}F_Y(t)=\frac{d}{dt}\left(F_X(\sqrt{t})-F_X(-\sqrt{t})\right) = ? \end{eqnarray*}$

(Kettenregel beachten!!!)

Und was im Fall $\begin{eqnarray*} t\leq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_Y(t),f_Y(t) \end{eqnarray*}$ ist, sollte nicht so schwer sein. Augenzwinkern