Funktionenschar: Gezielt Nullstelle finden

16.09.2007, 11:49

Avicenna

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Funktionenschar: Gezielt Nullstelle finden

Hallo,
heute häufen sich bei mir die Probleme, eine Lösung zu haben, diese rechnerisch aber nicht "beweisen" zu können.

Gegeben ist die Funktionenschar $\begin{eqnarray*} f_{t}(x)=2x^3-tx^2+8x \end{eqnarray*}$ . Bestimmte t so, dass $\begin{eqnarray*} f_{t} \end{eqnarray*}$ die Nullstelle 2 besitzt.

Die Lösung ist 8, das erkennt man nach kurzem Ausprobieren.
Damit die Nullstelle 2 herauskommt, muss bei der pq-Formel 2 herauskommen, d.h. es muss $\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-4}=2 \end{eqnarray*}$ gelten. Löse ich die Gleichung nach p² auf, so erhalte ich (in der positiven Variante) 12, aber das Ergebnis kann ich in keinder Verbindung mit der 8 bringen.

Hat jemand weitere Lösungsvorschläge?

16.09.2007, 11:55

klarsoweit

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RE: Funktionenschar: Gezielt Nullstelle finden
Welche Beziehung besteht denn zwischen p und t?

16.09.2007, 12:07

Avicenna

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$\begin{eqnarray*} p=-\frac{tx}{2} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt habe ich ja 3 Variablen.

16.09.2007, 12:22

Speed

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Irgendwie rechnest du sehr kompliziert. Eine Nullstelle bei 2 bedeutet ja:
$\begin{eqnarray*} f_t(2)=0 \\ \Rightarrow 2 \cdot 2^3 - 2^2 \cdot t +8 \cdot 2 =0 \\ \Leftrightarrow 16-4\cdot t + 16 = 0 \\ \Leftrightarrow t=8 \end{eqnarray*}$

16.09.2007, 12:32

Avicenna

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Jetzt fällt es mir wir Schuppen von meinen Augen.
Es geht ja also ganz einfach! Ich hatte es mit Ausprobieren versucht.

Die erste Aufgabe war, herauszufinden, für welche t die Funktion drei verschiedene Nullstellen hat.
Gibt es dafür auch so eine plausible Rechnung? Vermutlich nicht, da "drei verschiedene Nullstellen" ja nicht mathematisch in eine Gleichung formuliert werden kann.
Ich habe es durch Ausprobieren und logisches Denken herausbekommen (alle reellen Zahlen ohne das Intervall ]-8;8[.)
Oder kann man das auch durch eine Rechnung lösen?

16.09.2007, 15:02

babelfish

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Ja, das kannst du auch berechnen!
Versuch mal so vorzugehen:
Wenn du das x ausklammerst, hast du ja schonmal die erste Nullstelle (x1=0).
Jetzt muss ja nur noch

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2-\frac{t}{2} \cdot x + 4 \end{eqnarray*}$

genau zwei Lösungen haben (nicht eine, nicht keine, sondern zwei).
Wenn du darauf die pq-Formel anwendest, was muss dann für den Term unter der Wurzel gelten, damit zwei Lösungen herauskommen? Bzw.: Wann gibt es keine oder nur eine Lösung?

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16.09.2007, 16:06

Avicenna

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Es muss $\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{4} > 4 \end{eqnarray*}$ gelten. Es gilt $\begin{eqnarray*} p=-\frac{tx}{2} \end{eqnarray*}$ . Somit ergibt sich $\begin{eqnarray*} -tx>8 \end{eqnarray*}$ . Wie interpretire ich das als ]-8>8[?
Oder bin ich gar auf dem falschen Weg?

16.09.2007, 16:11

tmo

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$\begin{eqnarray*} p \neq -\frac{tx}{2} \end{eqnarray*}$

darin steckt der fehler

16.09.2007, 16:14

babelfish

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Als p bezeichnet man stets den Koeffizienten vor dem x - also darf das x in p=... nicht mehr vorkommen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du bist schon auf dem richtigen Weg!
Beachte allerdings, dass beim Wurzelziehen auch ein negatives Ergebnis herauskommen kann...

16.09.2007, 16:42

Avicenna

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Ich bin der Sache schon sehr nahe! Es kommt $\begin{eqnarray*} t^2>64 \end{eqnarray*}$ heraus. Nun muss ich noch Wurzelziehen. Meines Wissens dreht sich beim Wurzelziehen das Größer- oder Kleinerzeichen (gibt es für beides zusammen einen Namen?) nicht um. Es würde dann aber $\begin{eqnarray*} t>8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t>-8 \end{eqnarray*}$ da stehen, was aber nicht mit der richtigen Lösung übereinstimmt.
Was mache ich falsch?

16.09.2007, 17:32

babelfish

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Um diese unangenehme Sache mit dem Relationszeichen (!) zu umgehen, habe ich mir erst den Fall vorgenommen, bei dem es für die pq-Formel genau eine Lösung gibt, also $\begin{eqnarray*} t^2=64 \end{eqnarray*}$ . Löst man diese Gleichung, wird auch sofort klar, wann es keine Lösung geben würde. Und man kann sich erschließen, wann es folglich die gesuchten zwei Lösungen geben wird.

Hm, wann man das Relationszeichen beim Wurzelziehen umdrehen muss, kann ich dir jetzt so auch nicht sagen...
Ich habe mal versucht mir das an einem Beispiel klar zu machen (hat aber leider auch keine Klarheit geschaffen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
Nämlich folgendes:
$\begin{eqnarray*} 2^2>1^2 \end{eqnarray*}$ (da sollte jeder zustimmen)
Zieht man die Wurzel, gibt es ja 4 verschiedene Ausgangssituationen aus denen oben genannte Gleichung durch Quadrieren entstanden sein könnte:
1.) $\begin{eqnarray*} 2>1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*2>1*1 \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} 2>-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*2>(-1)*(-1) \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} -2>-1 \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

Falsch!
$\begin{eqnarray*} -2<-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-2)*(-2)<(-1)*(-1) \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

Schon wieder falsch!
$\begin{eqnarray*} (-2)*(-2)>(-1)*(-1) \end{eqnarray*}$

4.) $\begin{eqnarray*} -2>1 \end{eqnarray*}$ Okay, okay, das stimmt auch nicht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} -2<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-2)*(-2)>1*1 \end{eqnarray*}$ Und wieder mussten wir das Relationszeichen umdrehen...

In zwei von 4 Fällen muss also das Relationszeichen beim Quadrieren (und somit jawohl auch beim Wurzelziehen) umgedreht werden - aber eigentlich kann man das Ganze auf 2 Fälle zusammenfassen, denn 1 und 3 sowie 2 und 4 sind durch Multiplikation mit (-1) entstanden.
Allerdings kann ich dir jetzt immer noch nicht sagen, warum es in deinem Fall $\begin{eqnarray*} t<-8 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -t>8 \end{eqnarray*}$ heißen muss... Wie gesagt - ich habe da einen anderen Weg eingeschlagen...
Kann da vielleicht jemand anderes Klarheit in das Wurzelzieh-Relationszeichenumdreh-Problem bringen?

17.09.2007, 08:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von babelfish
Hm, wann man das Relationszeichen beim Wurzelziehen umdrehen muss, kann ich dir jetzt so auch nicht sagen...
...
In zwei von 4 Fällen muss also das Relationszeichen beim Quadrieren (und somit jawohl auch beim Wurzelziehen) umgedreht werden?

Merke:
1. Beim Wurzelziehen kommt niemals etwas negatives heraus.
2. Beim Wurzelziehen wird niemals das Relationszeichen verdreht, da die Wurzelfunktion monoton steigt.

Zitat:

Original von Avicenna
Ich bin der Sache schon sehr nahe! Es kommt $\begin{eqnarray*} t^2>64 \end{eqnarray*}$ heraus. Nun muss ich noch Wurzelziehen. Meines Wissens dreht sich beim Wurzelziehen das Größer- oder Kleinerzeichen (gibt es für beides zusammen einen Namen?) nicht um.

Aus $\begin{eqnarray*} t^2>64 \end{eqnarray*}$ machen wir $\begin{eqnarray*} (t-8) \cdot (t+8) > 0 \end{eqnarray*}$
Jetzt muß man sich nur überlegen, wann ein Produkt positiv ist, und die jeweiligen Fälle durchackern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.09.2007, 12:59

babelfish

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Danke, dass du mich aus der Verwirrung geholt hast... Augenzwinkern

Augenzwinkern

So ist das natürlich geschickter gemeistert! smile

smile

17.09.2007, 14:26

mercany

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@Avicenna

Was du meintest:

$\begin{eqnarray*} t^2 > 64 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |t| > \sqrt{64} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |t| > 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow t > 8 \wedge -t > 8 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} t > 8 \wedge t < -8 \end{eqnarray*}$ , weil wenn du $\begin{eqnarray*} -t > 8 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ multipilzierst, ändert sich das Relationszeichen

Gruß, mercany

17.09.2007, 15:28

Avicenna

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Danke für eure Überlegungen!
mercanys Lösung ist nachvollziehbar.

Aber warum komme ich so nicht auf die richtige Lösung:

$\begin{eqnarray*} t^2 > 64 \end{eqnarray*}$
1.) $\begin{eqnarray*} = t > 8 \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} = t > -8 \end{eqnarray*}$

Das müsste dann ja falsch sein. Aber wieso?

17.09.2007, 15:36

klarsoweit

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Wenn man nichts über das Vorzeichen von t weiß, ist eben

$\begin{eqnarray*} \sqrt{t^2} = |t| \end{eqnarray*}$

17.09.2007, 19:36

Avicenna

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Okay, vielen Dank für die Erklärungen! smile

smile

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