topologie

16.09.2007, 18:38	sdfsdfg	Auf diesen Beitrag antworten »
topologie Jede nichtleere Familie $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ von Teilmengen einer menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist Subbasis einer Topologie von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Bew: Sei $\begin{eqnarray} \mathcal B= \{ \bigcap_{i \in I}s_i \|s_i \in S,\ I\ endlich \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathcal O=\{\bigcup_{\alpha \in \mathcal A}\| B_\alpha \in \mathcal B \} \end{eqnarray}$ zz: $\begin{eqnarray} \mathcal O \end{eqnarray}$ ist topologie $\begin{eqnarray} \emptyset= \bigcup_{l \in \emptyset} B_l \in \mathcal O \end{eqnarray}$ so das blick ich nicht, wegen dem $\begin{eqnarray} l \in \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X=\bigcap_{i \in \emptyset} S_i \in \mathcal B \in \mathcal O \end{eqnarray}$ hier das gleiche problem Kann mir das jemand erklären?
16.09.2007, 18:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigungen über die leere Menge als Indexmenge sind leer, Durchschnitte dagegen die ganze Grundmenge. Das sind schlicht (sinnvolle) Konventionen. Das ist so ähnlich wie die Definition von $\begin{eqnarray} a^0 =1 \end{eqnarray}$ für reelle Zahlen $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ (leeres Produkt) oder wie die Konvention, leere Summen als 0 zu definieren. Wenn dir das nicht gefällt, so nimm einfach die leere und die volle Menge noch in die Menge $\begin{eqnarray} \mathfrak{O} \end{eqnarray}$ mit auf.

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