Primzahlenaufgabe

16.09.2007, 20:44

Vieta

Primzahlenaufgabe

Also um allen Gerüchten zuvorzukommen, das folgende ist keine Aufgabe aus einer aktuellen MAthematikolympiade, sondern sie ist wie hier nachzulesen aus dem Jahr 2001.
Konkret bezieht sich das ganze auf die Schulrunde für die Jahrgangsstufen 11-13.

Aufgabe:

Man ermittle alle positiven ganzen Zahlen n, für die
$\begin{eqnarray*} n^3 + 4^n-n-1 \end{eqnarray*}$
Primzahl ist.

Also, meine bisherigen Beobachtungen.

$\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ scheint immer eine gerade Zahl zu sein
$\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ scheint für gerade n gerade zu sein und für ungerade n ungerade

Danach fehlt mir aufgrund mangelnder Fachkenntnis
der Ansatz.
Bin für jede Hilfe offen
Vielen Dank im Voraus
Vieta smile

EDIT:Link eingefügt und Latex-Code repariert

[ModEdit: Link repariert. mY+]

16.09.2007, 20:51

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht gleich mutlos werden. In Fällen, wo man keine Idee hat, rechnet man die ersten paar Werte einfach mal aus: Also mit Abkürzung $\begin{eqnarray*} a_n := n^3 + 4^n-n-1 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} a_1 &=& 3\\ a_2 &=& 21\\ a_3 &=& 87\\ a_4 &=& 315 \end{eqnarray*}$

Fällt dir was auf? Nun, alle diese Zahlen sind durch 3 teilbar...

Das ist noch kein Beweis - um den kannst du dich jetzt bemühen. Augenzwinkern

16.09.2007, 20:52

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

$\begin{eqnarray*} n^3+4^n-n-1\equiv0\pmod3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Also ist der Ausdruck nur für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl.

Gruß, therisen

16.09.2007, 21:00

Vieta

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zahlen mit n>1 sind allesamt zusammengesetzte Zahlen, können somit gar keine Primzahlen sein, doch wie schreibe ich das nun sauber auf?

16.09.2007, 21:02

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 4^n-1 \end{eqnarray*}$ ist stets durch 3 teilbar. Für den Rest: binomische Formel.

16.09.2007, 21:05

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von therisen
Hallo,

$\begin{eqnarray*} n^3+4^n-n-1\equiv0\pmod3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Also ist der Ausdruck nur für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl.

Gruß, therisen

das musst du ja erstmal beweisen @Vieta.

ich würde den beweis aufteilen.
erst beweist du, dass $\begin{eqnarray*} 4^n - 1 \equiv0\pmod3 \end{eqnarray*}$ gilt, was nicht schwer ist wegen $\begin{eqnarray*} 4^n \equiv 1^n = 1\pmod3 \end{eqnarray*}$

danach beweist, dass $\begin{eqnarray*} n^3 - n \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ gilt.

da würde ich folgendermaßen vorgehen:
1. fall: $\begin{eqnarray*} n \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ dieser fall ist trivial.
2. fall: $\begin{eqnarray*} n \equiv 1 \pmod 3 \end{eqnarray*}$
etc..

16.09.2007, 21:34

Vieta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo

danach beweist, dass $\begin{eqnarray*} n^3 - n \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ gilt.

da würde ich folgendermaßen vorgehen:
1. fall: $\begin{eqnarray*} n \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ dieser fall ist trivial.
2. fall: $\begin{eqnarray*} n \equiv 1 \pmod 3 \end{eqnarray*}$
etc..

hmm ich weiß doch schon, dass der zweite Fall nicht existent ist, wie soll ich ihn dann beweisen verwirrt

Ich habe mich gerade bei Wikipedia ein bisschen in die modulo -Schreibweise eingearbeitet, wirklich geholfen hat es aber nicht

http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_%28Zahlentheorie%29

16.09.2007, 21:35

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

n ausklammern, 3. binomische Formel, dann genau hinschauen Augenzwinkern

16.09.2007, 21:39

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

der fall $\begin{eqnarray*} n \equiv 1 \pmod 3 \end{eqnarray*}$ ist definitiv existent, denn z.b. kann n ja die werte 4, 7, 10 etc. annehmen.

aber mit dem tip von therisen ist es wohl noch einfacher das geforderte zu beweisen.

16.09.2007, 21:46

Vieta

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} n(n-1)(n+1)3 \end{eqnarray*}$
Das sind auf jeden Fall drei aufeinanderfolgende Zahlen. Eine von denen ist immer durch drei teilbar

Aber ich schaffe es jetzt nicht das zu Ende zu bringen^^. Noch ein Tipp würde nicht schaden

EDIT: die 3 war fehl am Platze
EDIT: nachdem therisen bezug auf die 3 genommen hast, habe ich sie wieder eingefügt

16.09.2007, 21:48

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Vieta
$\begin{eqnarray*} n(n-1)(n+1) 3 \end{eqnarray*}$

Was hat die 3 dort verloren?

Sind zwei Zahlen durch 3 teilbar, so auch ihre Summe. Ist eine Zahl > 3 durch 3 teilbar, ist sie nicht prim. Fertig.

16.09.2007, 21:49

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

wo ist denn jetzt noch genau das problem?

wenn man gezeigt hat hat, dass $\begin{eqnarray*} n^3-n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 4^n-1 \end{eqnarray*}$ durch 3 teilbar sind, dann ist auch ihre summe durch 3 teilbar und damit ergibt sich, dass dieser term nur für n = 1 eine primzahl ist, denn dann wird er 3 (bekanntermaßen prim).

da die aufgabe jetzt wohl gelöst würde, poste ich zur vollständigkeit noch den beweis, den ich oben mit der fallunterscheidung im sinn hatte:

1. fall:
$\begin{eqnarray*} n \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$
dieser fall ist trivial.

2. fall:
$\begin{eqnarray*} n \equiv 1 \pmod 3 \end{eqnarray*}$
es ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} n^3-n \equiv 1^3 - 1 = 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$

3. fall:
$\begin{eqnarray*} n \equiv 2 \pmod 3 \end{eqnarray*}$
es ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} n^3-n \equiv 2^3 - 2 = 6 \equiv 0 \pmod 3 \end{eqnarray*}$

16.09.2007, 21:55

Vieta

Auf diesen Beitrag antworten »

ah thx
jetzt ist mir ein Lichtlein aufgegangen.
Ich habe das Gleichheitszeichen mit den 3 Strichen nicht verstanden gehabt, deshalb hatte ich mich etwas dämlich angestellt. smile

Neue Frage »

Antworten »

Primzahlenaufgabe

Verwandte Themen