Null hoch Null

16.09.2007, 20:55

KnightMove

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Null hoch Null

Ich fand das Thema in anderen Threads andiskutiert, aber keinen eigenen dazu... menschliches Versagen bei der Suchfunktion nicht ausgeschlossen (in diesem Falle ist Verschiebung meines Beitrages in den passenden Thread ausdrücklich erlaubt).

Ich muss zugeben, dass die Behandlung des Themas in Wikipedia für mich Überraschungen bereithielt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28M...h_null.E2.80.9C

Was ist dazu zu sagen?

16.09.2007, 20:58

therisen

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Hallo,

warum denn Überraschungen? Die Konvention ist sinnvoll - Diskussion beendet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

16.09.2007, 20:58

vektorraum

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RE: Null hoch Null
Hi!

Eine ähnliche Diskussion gab es bereits vor kurzem. Vielleicht liest du dir hier mal alles in Ruhe durch.

Gruß, VR

16.09.2007, 21:02

KnightMove

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Ich lese mir das durch, nur als Antwort auf die Frage: Nur weil etwas in Summen über die natürlichen Zahlen sinnvoll ist, heißt das noch lange nicht, dass es in anderen Teilbereichen der Mathematik auch sinnvoll ist.

16.09.2007, 22:29

Dual Space

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RE: Null hoch Null

Zitat:

Original von vektorraum
Vielleicht liest du dir hier mal alles in Ruhe durch.

... und diskutierst dort weiter. Augenzwinkern

Augenzwinkern

*geschlossen*

18.09.2007, 11:52

Dual Space

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RE: Null hoch Null
Auf Wunsch des Threadstellers wieder *geöffnet*.

*verschoben*

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18.09.2007, 13:57

KnightMove

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Besten Dank. Also, die Darstellung in Wikipedia drängt zwei Fragen auf:

1. Gibt es andere Bereiche der Mathematik, in denen $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ eine sinnvolle Definition darstellt, außer Reihen?
2. Kann ausgeschlossen werden, dass es Reihen gibt, in denen $\begin{eqnarray*} 0^0 \neq 1 \end{eqnarray*}$ ist?

Weiß jemand etwas dazu?

18.09.2007, 17:12

3,14

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Zitat:

Original von KnightMove
1. Gibt es andere Bereiche der Mathematik, in denen $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$

Ja, z.B. in der Kombinatorik.

18.09.2007, 19:10

Dual Space

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Auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Betrachte z.B. eine Poisson-verteilte Zufallsgröße mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ .

@KnightMove: In welchem Teil der Mathematik gilt denn $\begin{eqnarray*} 0^0\not=1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Und nochwas: In deiner PN erklärtest du mir, dass ich merken würde, dass dieser Thread grundverschieden von dem oben genannten ist. Erklär doch mal warum.

18.09.2007, 22:00

KnightMove

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Die beiden Threads sind gewissemaßen das Gegenteil voneinander... hier Basis Null, dort Basis Nicht-Null.

Und um Deine andere Frage zu beantworten: Wie in den in Wikipedia beschriebenen Grenzwertfällen - dort kann $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ sprichwörtlich alles sein.

18.09.2007, 22:02

Dual Space

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Aber mich interessiert immer noch folgendes:

Zitat:

Original von Dual Space
@KnightMove: In welchem Teil der Mathematik gilt denn $\begin{eqnarray*} 0^0\not=1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

18.09.2007, 22:06

KnightMove

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Das war eigentlich schon als Antwort gedacht: Bei Fragen von Folgengrenzwerten oder auch Funktionswerten. Sprich, in der ganz gewöhnlichen Analysis.

18.09.2007, 22:12

Dual Space

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Ok ... jetzt hab ich offenbar die denkwürdige Stelle in dem Wiki-Artikel gefunden.

Aber der dortige Konsens gefällt mir ganz gut:

Zitat:

Die Konvention $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ ist also aus praktischen Gründen sinnvoll, weil sie die Formulierung vieler mathematischer Ausdrücke vereinfacht.

Augenzwinkern

18.09.2007, 22:18

KnightMove

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Siehe aber dort auch das dort angegebene schöne Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x) = (e^{-\frac{1}{x}})^x \end{eqnarray*}$ . Und dann darfst Du einmal zu verstehen versuchen, warum ich diesen Thread gestartet habe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2007, 22:25

Dual Space

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Bei diesem Bsp. geht es aber um den Grenzwert der Funktion für x gegen Null (von rechts). Da nun die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^y \end{eqnarray*}$ in (0,0) unstetig ist, ist diese "Paradefunktion" wenig eindrucksvoll.

18.09.2007, 22:35

KnightMove

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Zitat:

Original von Dual Space
Bei diesem Bsp. geht es aber um den Grenzwert der Funktion für x gegen Null (von rechts).

Auch von links. In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist das eine perfekt stetige Funktion, nämlich die ultrabrave, konstante Funktion 1/e... und $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ ist in diesem Falle als 1/e festzulegen.

18.09.2007, 22:43

Dual Space

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Zitat:

Original von KnightMove
Auch von links.

Der Grenzwert von links ist sowas wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty^0} \end{eqnarray*}$ . Das setzen wir auch 1/e, damit die Stetigkeit erzwungen wird?

Und die genannte Funktion ist eben nur die achsobrave Funktion f(x)=1/e für x ungleich Null!!!

18.09.2007, 22:50

KnightMove

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Gleichermaßen wie bei sin(x)/x...

18.09.2007, 22:51

Dual Space

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Ich versteh' nicht, worauf du damit anspielen willst.

18.09.2007, 22:53

KnightMove

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Ganz einfach: Bei sin(x)/x lässt sich 0/0 als 1 ansehen. In anderen Fällen geht das nicht. 0/0 kann "alles" sein, also ist es undefiniert.

Für $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ gilt dasselbe.

18.09.2007, 22:57

Dual Space

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Zitat:

Original von KnightMove
... also ist es undefiniert. Für $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ gilt dasselbe.

Ich habe (zumindest in meinen letzten Posts) nie Gegenteiliges behauptet. Allerdings habe ich dich darauf hingewiesen, dass die Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=(e^{-\frac{1}{x}})^x \end{eqnarray*}$ nicht dieselben Definitionsbereiche haben, und somit nicht identifiziert werden können. Somit hinkt dein Argument für die Stetigkeit der Funktion g in x=0 gewaltig.

18.09.2007, 23:01

KnightMove

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Irgendwie kreisen wir aneinander vorbei.

Frage: Hat es in diesem Kontext in irgendeiner Hinsicht mehr Sinn, $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ festzulegen (als 1 oder was auch immer), denn 0/0 festzulegen?

Meine Meinung im Moment: nein.

... und damit Schluss für heute, cu tomorrow.

18.09.2007, 23:18

WebFritzi

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Mensch Knightmove, im wiki-Artikel steht doch

"Grenzwertargumente sind zur Festlegung von $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ also ungeeignet.".

Das ist genau das, was du die ganze Zeit schreibst. Ich denke, das haben hier alle begriffen.

Willst du uns hier einfach nur sagen, dass du findest, die Konvention $\begin{eqnarray*} 0^0= 1 \end{eqnarray*}$ sei aus o.g. Gründen nicht sinnvoll?

Aus der einen Sicht ist die Definition sinnvoll, aus der anderen weniger. Keiner zwingt dich, diese Definition/Konvention anzuerkennen/befolgen. Du kannst auch $\begin{eqnarray*} 0^0 = 5 \end{eqnarray*}$ setzen, wenn du lustig bist.

Kurzum: Ich verstehe nicht ganz, was du mit diesem Thread erreichen willst.

19.09.2007, 10:58

KnightMove

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Die Wikipedia-Formulierung "ungeeignet" ist IMHO zu schwach. Das sollte eher heißen "widersprechen einer Festlegung von $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ ".

Ich will hier diskutieren und eruieren, wo die Festlegung sinnvoll ist und wo nicht.

Aus meiner Sicht sieht es so aus:

* Die derzeitige Behauptung im Wikipedia-Artikel ist unrichtig, $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ sei als 1 festgelegt, ist unrichtig.
* Richtig wäre hingegen zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ in gewissen Teilbereichen der Mathematik als 1 festgelegt ist, in anderen hingegen als undefiniert. So ähnlich, wie in manchen Teilgebieten der Mathematik 0 als $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ festgelegt ist, in anderen als $\begin{eqnarray*} \notin \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Und um einen ersten Vorschlag zu bringen, als These nur mit Hypo davor:

$\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ kann sinnvoll als 1 festgelegt werden, wenn der Exponent eine "diskrete Null" im Rahmen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist, aber nicht, wenn er eine "kontinuierliche Null" in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

20.09.2007, 23:58

Soliton

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Zitat:

Original von KnightMove
Ganz einfach: Bei sin(x)/x lässt sich 0/0 als 1 ansehen. In anderen Fällen geht das nicht. 0/0 kann "alles" sein, also ist es undefiniert.

Och, nö.

unglücklich

Was hat denn denn der Grenzwert von sin(x)/x für x gegen 0 mit dem (sinnlosen) Ausdruck "0/0" zu tun?

Hör' auf Fritz! (Nicht: Hör auf, Fritz! smile

smile

)

Zitat:

Original von KnightMove
* Richtig wäre hingegen zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ in gewissen Teilbereichen der Mathematik als 1 festgelegt ist, in anderen hingegen als undefiniert. So ähnlich, wie in manchen Teilgebieten der Mathematik 0 als $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ festgelegt ist, in anderen als $\begin{eqnarray*} \notin \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Das wäre nicht richtig. Betreiben wir hier Mathematik oder irgendeine Wertungs- und Meinungswissenschaft? Ob 0 eine natürliche Zahl ist oder nicht, das ist keine Frage unterschiedlicher Teilbereiche der Mathematik, sondern unterschiedlicher menschlicher Anwender. Und nur Konvention.

Dito für "0^0". Ich tippe gerade wegen der "Einheit der mathematischen Ordnung" darauf (wo es keine konkurrierenden Teilbereiche gibt), daß "0^0", wenn überhaupt, dann nur in einem einzigen Sinne definiert wird. (Übrigens ist die Entscheidung zwischen "0" und "1" an dieser Stelle, wie Wikipedia richtig schreibt, nur pragmatisch. Denn ein allgemeiner Ausdruck "0^a" taucht in der mathematischen Praxis nunmal eher nicht auf, weil er noch langweiliger ist als "a^0".) Wer - in seinem mathematischen Fachgebiet - dafür keine Verwendung hat, verschwendet überhaupt keinen Gedanken daran oder spricht, wenn er leichtsinnig ist, aus, daß der Ausdruck undefiniert sei.

Und was Du da mit diskreten und kontinuierlichen Nullen willst... Prost

Prost

Das Problem liegt in der gleichen Katagorie wie "1+1=2" oder der andere Thread von Airblader.

21.09.2007, 15:13

KnightMove

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Zitat:

Original von Soliton Ob 0 eine natürliche Zahl ist oder nicht, das ist keine Frage unterschiedlicher Teilbereiche der Mathematik, sondern unterschiedlicher menschlicher Anwender.

Du implizierst, dass jeder (der die Frage versteht und nicht "weiß nicht" sagt), die Frage, ob $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sei, mit "ja" oder "nein" beantwortet. Dem stimme ich nicht zu. Man kann auch "Kommt drauf an" beantworten.

Zitat:

Und was Du da mit diskreten und kontinuierlichen Nullen willst...

Mir fiel auf, dass alle angeführten Beispiele, in denen $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ sinnvoll schien, nur Exponenten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ zuließen. Ich habe die Vermutung geäußert, dass das immer so sei. Wenn ich mit ihr falsch liege, auch ok. Aber ich verstehe nicht, warum sie sinnlos sein soll (wie Du hier anscheinend implizierst). Ich bin offen für bessere Erklärungen.

26.09.2007, 14:52

KnightMove

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