Vollständige Induktion

16.09.2007, 21:18

aRo

Vollständige Induktion

Hi!

Leider hänge ich bei einer vollständigen Induktion fest. Also ich soll zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1}\cdot \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^n~{\frac{1}{n+k}} \end{eqnarray*}$

für

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

I.A. und I.V. sind klar. Beim I.S. hänge ich leider allerdings fest.

Definiere ich $\begin{eqnarray*} A(n) := \sum_{k=1}^{2n}~(-1)^{k+1}\cdot \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ so muss ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A(n) -> A(n+1) \end{eqnarray*}$

Möchte ich nun $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+2}~(-1)^{k+1}\cdot \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~{\frac{1}{n+1+k}} \end{eqnarray*}$ überführen, komme ich weder mit dem Auseinanderziehen der Summen, noch mit Indexverschiebung weiter.
Kann mir jemand einen Tipp geben?

16.09.2007, 21:24

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib dir doch mal in Ruhe auf, welche Terme links und rechts dazukommen (oder im Falle rechts auch wegfallen) beim Übergang von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ , ob nun mit oder ohne Indexverschiebung. Dann sollte es doch klappen.

16.09.2007, 21:52

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

» verschoben »

mY+

16.09.2007, 21:54

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

bei der linken Seite kann ich ja die Summe recht einfach auseinanderziehen. Es scheitert dann aber bei der rechten, da ich nicht weiß, wie ich die $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ sinnvoll in den Nenner der Summe bekommen soll unglücklich

16.09.2007, 22:16

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2n+2}(-1)^{k+1}\frac1k\stackrel{\text{IV}}{=} \sum_{k=1}^n\frac1{n+k}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2} \end{eqnarray*}$

Beachte, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac1{n+k}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{n+1+k}-\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}+\frac1{n+1} \end{eqnarray*}$

Damit bist du so gut wie fertig.

Gruß, therisen

16.09.2007, 22:39

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke dir!! Damit habe ich die Aufgabe gelöst bekommen.

Jedoch kann ich diesen Schritt:

Zitat:

Original von therisen
Beachte, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac1{n+k}=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{n+1+k}-\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}+\frac1{n+1} \end{eqnarray*}$

immer noch nicht nachvollziehen..

16.09.2007, 22:42

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe mal die Summen aus, dann siehst du es Augenzwinkern

16.09.2007, 22:50

Auf diesen Beitrag antworten »

@aRo

Dieses $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$ scheint dich ja mächtig außer Tritt zu bringen. Dann schreib es doch äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ um, gleich in der Behauptung - vielleicht löst sich dann die Blockade.

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion

Verwandte Themen