Geometrische Summe [getrennt von: Vollständige Induktion]

15.09.2007, 13:48

Firefoxxx

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Geometrische Summe [getrennt von: Vollständige Induktion]

EDIT von Calvin

Abgetrennt vom Thread Vollständige Induktion [getrennt von: Beweis- wie gehe ich da vor?]

hallo! Hammer

Hammer

Also, ich bin in der gleichen Klasse wie der Timonator und habe auch das gleiche Problem, vllt ist net ganz rübergekommen was wir nicht rallen^^

Also wir haben da die Summenformel für eine geom. Reihe

$\begin{eqnarray*} S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1} {q -1} \end{eqnarray*}$

Und die Formel da oben sollen wir Beweisen mittels der Vollständigen Induktion Big Laugh

Big Laugh

Ich versuche das jetzt mal zu erklären was denn was ist (bitte nicht lachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

also
$\begin{eqnarray*} S_{n} \end{eqnarray*}$ ist die Summe bis n denke ich mal^^
$\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ ist das erste Glied der Reihe
$\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist der quotient

das wolltest du doch wissen klasrsoweit?

Und jetzt kommen erstmal die wirklich peinlichen Fragen traurig

traurig

Was genau ist denn der Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe?

Warum heißt die Summenformel nicht $\begin{eqnarray*} S_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist doch genau das gleiche? oO

Und jetzt die masterfrage: Was bedeutet dieses $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ das ich ab und zu sehe?
LOL Hammer

LOL Hammer

sou

Das Prinzip der Vollständigen Induktion ist uns auch noch nicht ganz so klar, so wie ich das verstanden habe beweist man irgendwie das die Formel für die nächsthöhere Zahl(n+1) gilt, und wenn das stimmt ist die Formel halt gültig (bsp mit den Dominosteinen)

Dazu muss man allerdings als erstes:
den Induktionsanfang machen, also für $\begin{eqnarray*} {n} = 1 \end{eqnarray*}$ (bzw 0) einsetzen!
also wäre das dann: $\begin{eqnarray*} S_{1} = 1 \cdot \frac{q^{1} -1} {q - 1} = a_{1} \end{eqnarray*}$ (da $\begin{eqnarray*} S_{1} \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ entspricht...und für a1 setzt man einfach auch mal 1 ein verwirrt

verwirrt

)
daraus wird dann $\begin{eqnarray*} S_{1} = 1 \end{eqnarray*}$

womit der erste Schritt (Prüfung des Induktionsanfangs) erledigt wäre, nicht?

jetzt kommt das Formulieren der Induktionsvorraussetzung:

ist das wieder $\begin{eqnarray*} S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1} {q -1} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

dann kommt die Formulierung der Induktionsbehauptung

so
ist das bis hier hin überhaupt richtig? Und wies jetzt weiter geht weiß ich auch net so recht

würde mich freuen wenn einer so nett wäre und uns armen Seelen diese trivialen Sachen mal erklärt (auf deutsch) Hammer

Hammer

15.09.2007, 14:01

Dual Space

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Zitat:

Original von Firefoxxx
Das Prinzip der Vollständigen Induktion ist uns auch noch nicht ganz so klar,...

Dann empfehle ich euch unseren Workshop: [WS] Vollständige Induktion.

15.09.2007, 14:14

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, da ist ja noch einiges durcheinander unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Firefoxxx
Also wir haben da die Summenformel für eine geom. Reihe

$\begin{eqnarray*} S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1} {q -1} \end{eqnarray*}$

Mal abgesehen davon, dass nirgends steht, was $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist, ist das ja eine andere Darstellung als im ursprünglichen Posting Lehrer

Lehrer

Bei euch steht sicher sowas: $\begin{eqnarray*} S_n=\sum_{k=0}^{n}~a_1q^k\stackrel{!}{=}a_1\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

EDIT
Ja, ich weiß inzwischen, dass die obige Gleichung nicht stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Auch die Erklärung, welcher Buchstabe wofür steht, ist nicht richtig unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} S_n=\sum_{k=0}^{n}~a_1q^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist also das Resultat der Summe!

$\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist einfach eine beliebige Zahl. Gleiches gilt für $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$

Deshalb ist dein Kommentar

Zitat:

Warum heißt die Summenformel nicht $\begin{eqnarray*} S_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist doch genau das gleiche? oO

auch nicht richtig Lehrer

Lehrer

Das k ist die Variable für die Summe. In eurem Fall nimmt k die Werte von 0 bis n an. Die Summe läßt sich also auch schreiben als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}~a_1q^k=a_1q^0+a_1q^1+a_1q^2+\ldots +a_1q^{n-1}+a_1q^{n} \end{eqnarray*}$

Und jetzt fangt am besten nochmal mit dem Induktionsanfang an. Da dürfen $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nicht verschwinden Lehrer

Lehrer

15.09.2007, 14:43

Firefoxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank schonmal für deine Antwort Calvin smile

smile

Zitat:

Original von Calvin
Oha, da ist ja noch einiges durcheinander unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Firefoxxx
Also wir haben da die Summenformel für eine geom. Reihe

$\begin{eqnarray*} S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1} {q -1} \end{eqnarray*}$

Mal abgesehen davon, dass nirgends steht, was $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist, ist das ja eine andere Darstellung als im ursprünglichen Posting Lehrer

Lehrer

sry, kann passieren, haben ja gerade erst damit angefangen, da sieht das alles fast gleich aus^^

Zitat:

Original von Calvin
Bei euch steht sicher sowas: $\begin{eqnarray*} S_n=\sum_{k=0}^{n}~a_1q^k\stackrel{!}{=}a_1\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

sowas habe ich ja noch nie gesehen geschockt

geschockt

Lesen2

in unserem Buch steht das hier:

http://img2.imagebanana.com/img/nrvvm3e7/DSCF2818.jpg
aber ist ja das gleiche^^

Zitat:

Original von Calvin
Auch die Erklärung, welcher Buchstabe wofür steht, ist nicht richtig unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} S_n=\sum_{k=0}^{n}~a_1q^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist also das Resultat der Summe!

meine ich doch^^

Zitat:

Original von Calvin
$\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist einfach eine beliebige Zahl. Gleiches gilt für $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$

Ja aber trotzdem ist q doch ein quotient? zumindest steht das in unserem Buch so Lesen1

Lesen1

Zitat:

Original von Calvin
Deshalb ist dein Kommentar

Zitat:

Warum heißt die Summenformel nicht $\begin{eqnarray*} S_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist doch genau das gleiche? oO

auch nicht richtig Lehrer

Lehrer

achso

Forum Kloppe

Zitat:

Original von Calvin
Das k ist die Variable für die Summe. In eurem Fall nimmt k die Werte von 0 bis n an. Die Summe läßt sich also auch schreiben als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}~a_1q^k=a_1q^0+a_1q^1+a_1q^2+\ldots +a_1q^{n-1}+a_1q^{n} \end{eqnarray*}$

aahhh, gut zu wissen Finger1

Finger1

Zitat:

Original von Calvin
Und jetzt fangt am besten nochmal mit dem Induktionsanfang an. Da dürfen $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nicht verschwinden Lehrer

Lehrer

okay, herr Lehrer

dann kommt aber $\begin{eqnarray*} S_1 = a_1 \cdot q \end{eqnarray*}$ raus? kann das denn stimmen?

15.09.2007, 15:01

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal muss ich etwas in meinem letzten Posting korrigieren. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}~a_1q^k=a_1\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

beweisen. Der kleine (aber wichtige) Unterschied liegt im Exponent (Hochzahl) beim Bruch auf der rechten Seite.

Obwohl du die Seite aus dem Buch fotografiert hast, muss da irgendwo stehen, was genau $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist bzw. wie bei euch die geometrische Reihe definiert ist. Entweder steht da die Summenschreibweise oder $\begin{eqnarray*} a_1q^0+a_1q^1+a_1q^2+\ldots +a_1q^n \end{eqnarray*}$ .

Andernfalls würde das überhaupt keinen Sinn machen. Also schau bitte nochmal nach smile

smile

Bevor nicht genau klar ist, welche Behauptung ihr beweisen sollt, brauchen wir gar nicht weitermachen. Es kann auch sein, dass da steht $\begin{eqnarray*} a_1q^0+a_1q^1+a_1q^2+\ldots +a_1q^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Das würde zumindest zu dem Bruch $\begin{eqnarray*} a_1\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ passen.

15.09.2007, 15:43

Firefoxxx

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ähm...

http://img2.imagebanana.com/img/jtzw8ghc/Zwischenablage01.jpg

das steht dadrunter

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15.09.2007, 16:09

Calvin

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Das ist schon ein Beweis für die Formel. In der erste Zeile steht schon, was $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist.

Müsst ihr das jetzt mit vollständiger Induktion nochmal beweisen? verwirrt

verwirrt

Wenn ja, dann müsst ihr zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} a_1q^0+a_1q^1+a_1q^2+\ldots +a_q^{n-1}=a_1\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

ist. Für n gilt: $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt darfst du dich nochmal am Induktionsanfang versuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Setze dafür $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ . Wieviele Glieder hat dann die Summe auf der linken Seite? Was steht dann rechts?

15.09.2007, 17:20

Firefoxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Calvin
Das ist schon ein Beweis für die Formel. In der erste Zeile steht schon, was $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist.

Müsst ihr das jetzt mit vollständiger Induktion nochmal beweisen? verwirrt

verwirrt

genau

Zitat:

Original von Calvin
Wenn ja, dann müsst ihr zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} a_1q^0+a_1q^1+a_1q^2+\ldots +a_q^{n-1}=a_1\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

ist. Für n gilt: $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt darfst du dich nochmal am Induktionsanfang versuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Setze dafür $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ . Wieviele Glieder hat dann die Summe auf der linken Seite? Was steht dann rechts?

ähm...

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot q^0 + a_1 \cdot q^1 + a_1 \cdot q^{1-1} = a_1 \cdot \frac{q^1 -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot q= a_1 \cdot \frac{q -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot q= a_1 \cdot \frac{q -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot q= a_1 \cdot q \end{eqnarray*}$

so, damit hätte ich dann den Induktionsanfang (ich denke der ist jetzt richtig smile

smile

)

jetzt kommt das schwere^^

zuerst die "Formulierung der Induktionsvorraussetzung":
öhm...

das müsste dann ja sein:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_1 \cdot q^{k-1} = a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

richtig?

15.09.2007, 17:36

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Firefoxxx
ähm...

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot q^0 + a_1 \cdot q^1 + a_1 \cdot q^{1-1} = a_1 \cdot \frac{q^1 -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot q= a_1 \cdot \frac{q -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot q= a_1 \cdot \frac{q -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot q= a_1 \cdot q \end{eqnarray*}$

Das ist komplett falsch. Denkt nochmal ein wenig drüber nach...

EDIT: Beachtet dazu Calvins Frage ("Wieviele Glieder hat dann die Summe auf der linken Seite?").

15.09.2007, 18:05

klarsoweit

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Nach dem ganzen hin und her, möchte ich nochmal an die eigentliche Aufgabe erinnern:

Mit vollständiger Induktion ist zu zeigen, daß gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1 - q} \end{eqnarray*}$

Da steht nichts von S_n oder a_1. Und deswegen würde ich diese Bezeichnungen mal völlig aus dem Spiel lassen. Nimm einfach die obige Behauptung und mache für n=1 den Induktionsanfang.

EDIT von Calvin
Durch die Teilung des Threads wurde dieses Posting aus dem Zusammenhang gerissen

15.09.2007, 19:01

Firefoxxx

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omg, vergesst bitte was ich da hingeschreiben habe geschockt

geschockt

auf der linken Seite müssten wir nur das $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ haben da es ja bis n-1 geht und wenn n=1 ist...

$\begin{eqnarray*} a_1 = a_1 \cdot \frac{q - 1}{q -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 = a_1 \cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 = a_1 \end{eqnarray*}$

Das ist doch jetzt hoffentlich richtig?

16.09.2007, 00:31

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit

ich habe keine Ahnung, wie die Unstimmigkeiten zwischen dem ursprünglichen Posting und den Fotos aus dem Buch kommt. Das hat hier auch schon (bei mir) für große Verwirrung gesorgt.

Bei den Fotos von Firefoxxx geht es definitiv um die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}~a_1q^k = a_1\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Da Teile davon auch plötzlich in Timonators Ansatz auftauchten, gehe ich davon aus, dass es definitiv um diese Gleichung geht.

@Firefoxxx

Ja, der Induktionsanfang stimmt.

16.09.2007, 11:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Calvin
@klarsoweit

ich habe keine Ahnung, wie die Unstimmigkeiten zwischen dem ursprünglichen Posting und den Fotos aus dem Buch kommt. Das hat hier auch schon (bei mir) für große Verwirrung gesorgt.

Also der Thread ist von Timonator. In meinen Augen hat er daher das größere Anrecht, daß wir auf seine Aufgabe eingehen. Die Aufgabe von Firefoxxx sieht definitiv anders aus. Ich hätte große Lust, seine Beiträge in einen eigenen Thread abzuspalten. Mir ist überhaupt nicht klar: will Firefoxxx hier helfen oder selbst Hilfe bekommen? Jedenfalls ist er derjenige, der hier die ganze Verwirrung reingebracht hat.

16.09.2007, 13:05

Firefoxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Calvin
@klarsoweit

ich habe keine Ahnung, wie die Unstimmigkeiten zwischen dem ursprünglichen Posting und den Fotos aus dem Buch kommt. Das hat hier auch schon (bei mir) für große Verwirrung gesorgt.

Also der Thread ist von Timonator. In meinen Augen hat er daher das größere Anrecht, daß wir auf seine Aufgabe eingehen. Die Aufgabe von Firefoxxx sieht definitiv anders aus. Ich hätte große Lust, seine Beiträge in einen eigenen Thread abzuspalten. Mir ist überhaupt nicht klar: will Firefoxxx hier helfen oder selbst Hilfe bekommen? Jedenfalls ist er derjenige, der hier die ganze Verwirrung reingebracht hat.

ähm...wie gesagt bin ich in der gleichen Klasse wie Timonator und er muss auch das gleiche machen wie ich, hat aber die falsche formel am anfang gepostet

also es geht definitiv um diese Formel
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_1 \cdot q^{k-1} = a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} \end{eqnarray*}$
bei uns beiden! sry wegen der verwirrung Forum Kloppe

Forum Kloppe

können wa jetzt net einfach damit weiter machen?

jetzt muss ich doch für n= n+1 einsetzen und so umformen das auf beiden Seiten das gleiche rauskommt?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~a_1 \cdot q^{k-1} = a_1 \cdot \frac{q^{n+1} -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

was dann beim Linken wäre:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~a_1 \cdot q^{k-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^n~a_1 \cdot q^{k-1}] +a_1 \cdot q^{n} \end{eqnarray*}$
wie forme ich hier jetzt weiter um?

und beim rechten:
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{q^{n+1} -1}{q -1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} + a_1 \cdot \frac{q^1 -1}{q -1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} + a_1 \end{eqnarray*}$

und hier weiß ich auch nicht mehr weiter traurig

traurig

16.09.2007, 13:47

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Firefoxxx
$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^n~a_1 \cdot q^{k-1}] +a_1 \cdot q^{n} \end{eqnarray*}$
wie forme ich hier jetzt weiter um?

Soweit richtig. Jetzt kommt die Induktionsvoraussetzung ins Spiel. Für (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathrm N \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}a_1q^{k-1}=a_1\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ . Dass es ein solches n gibt, hast du im Induktionsanfang gezeigt.

Das darfst du jetzt einsetzen und musst so lange umformen, bis du $\begin{eqnarray*} a_1\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ dastehen hast.

16.09.2007, 14:41

Firefoxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Calvin

Zitat:

Original von Firefoxxx
$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^n~a_1 \cdot q^{k-1}] +a_1 \cdot q^{n} \end{eqnarray*}$
wie forme ich hier jetzt weiter um?

Soweit richtig. Jetzt kommt die Induktionsvoraussetzung ins Spiel. Für (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathrm N \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}a_1q^{k-1}=a_1\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ . Dass es ein solches n gibt, hast du im Induktionsanfang gezeigt.

Das darfst du jetzt einsetzen und musst so lange umformen, bis du $\begin{eqnarray*} a_1\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ dastehen hast.

aaxxxooo

smile

aber ich glaube es ist soweit doch nicht richtig:

$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^n~a_1 \cdot q^{k-1}] +a_1 \cdot q^{n} \end{eqnarray*}$

habe ich geschreiben, müsste aber eig. doch

$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^n~a_1 \cdot q^{k-1}] +a_1 \cdot q^{0} \end{eqnarray*}$

sein?

dann würde es nämlich klappen:
also
LINKE SEITE
$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^n~a_1 \cdot q^{k-1}] +a_1 \cdot q^{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{q^{n} -1}{q -1} +a_1 \end{eqnarray*}$

RECHTE SEITE:
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{q^{n+1} -1}{q -1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} + a_1 \cdot \frac{q^1 -1}{q -1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} + a_1 \end{eqnarray*}$

somit hätte ich doch:
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} + a_1 = a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} + a_1 \end{eqnarray*}$

sagt mir doch bitte das es richtig ist? Gott

Gott

16.09.2007, 23:00

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaaargh, da habe ich schon wieder einen Fehler beim Summeindex gemacht *fluch*

Also: deine Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}~a_1q^{k-1}=a_1\frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

LINKE SEITE
$\begin{eqnarray*} [\sum_{k=1}^n~a_1 \cdot q^{k-1}] +a_1 \cdot q^{0} \end{eqnarray*}$

Das hier ist Blödsinn. Du nimmst das letzte Glied für k=n+1 aus der Summe. Deshalb ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~a_1q^{k-1}=\left[\sum_{k=1}^{n}~a_1q^{k-1}\right]+a_1q^{(n+1)-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{q^{n+1} -1}{q -1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} + a_1 \cdot \frac{q^1 -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

Und das hier ist sowieso Blödsinn unglücklich

unglücklich

17.09.2007, 01:40

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach einiger Verwirrung geht es also hier um die Beantwortung von Firefoxxx' Frage und dazu möchte ich einen etwas vereinfachten Weg zeigen, ausnahmsweise(!) mit Komplettlösung, weil ich es in diesem Fall für angebracht halte.

Die Verwendung beider Indices n und k (was das Verfahren nicht gerade einfacher macht) kann unterbleiben, wenn man im Weiteren die Summe nicht mit dem Summenzeichen anschreibt, sondern mit $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ bezeichnet, somit können wir nur mit n weiterarbeiten.

Zu beweisen ist:

$\begin{eqnarray*} s_n = a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 + ... + a_1 \cdot q^{n-1} = a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

1. I.Beginn, n = 1, $\begin{eqnarray*} s_1 = a_1 \end{eqnarray*}$ , ist klar, stimmt, ok
2. I.Annahme: Die Formel sei richtig für n
3. I. Beweis: Wir zeigen, dass aus der Richtigkeit von $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ für n auch die Richtigkeit für n+1 folgt. Damit ist die Formel bewiesen.

Wir fügen also der Summe von n Gliedern ein (n+1)stes Glied hinzu (linke Seite) und zeigen, dass dann die Summenformel für (n+1) erfüllt ist (rechte Seite).

$\begin{eqnarray*} L.S.: \ a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} + a_1q^{n} \end{eqnarray*}$

Bemerkung: Das (n+1)-te Glied lautet $\begin{eqnarray*} a_1q^n \end{eqnarray*}$ , weil das letzte (n-te) Glied $\begin{eqnarray*} a_1q^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist!

$\begin{eqnarray*} L.S.: \ a_1 \frac{q^n - 1 + q^{n+1} - q^n}{q -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L.S.: \ a_1 \frac{q^{n+1} - 1}{q -1} \end{eqnarray*}$
__________________

Rechte Seite: In die Formel statt n -> n+1 einsetzen!

$\begin{eqnarray*} R.S.: \ a_1 \frac{q^{n+1} - 1}{q -1} \end{eqnarray*}$

QED! THAT'S IT!

mY+

17.09.2007, 16:27

Firefoxxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Nach einiger Verwirrung geht es also hier um die Beantwortung von Firefoxxx' Frage und dazu möchte ich einen etwas vereinfachten Weg zeigen, ausnahmsweise(!) mit Komplettlösung, weil ich es in diesem Fall für angebracht halte.

Die Verwendung beider Indices n und k (was das Verfahren nicht gerade einfacher macht) kann unterbleiben, wenn man im Weiteren die Summe nicht mit dem Summenzeichen anschreibt, sondern mit $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ bezeichnet, somit können wir nur mit n weiterarbeiten.

Zu beweisen ist:

$\begin{eqnarray*} s_n = a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 + ... + a_1 \cdot q^{n-1} = a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} \end{eqnarray*}$

1. I.Beginn, n = 1, $\begin{eqnarray*} s_1 = a_1 \end{eqnarray*}$ , ist klar, stimmt, ok
2. I.Annahme: Die Formel sei richtig für n
3. I. Beweis: Wir zeigen, dass aus der Richtigkeit von $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ für n auch die Richtigkeit für n+1 folgt. Damit ist die Formel bewiesen.

Wir fügen also der Summe von n Gliedern ein (n+1)stes Glied hinzu (linke Seite) und zeigen, dass dann die Summenformel für (n+1) erfüllt ist (rechte Seite).

$\begin{eqnarray*} L.S.: \ a_1 \cdot \frac{q^n -1}{q -1} + a_1q^{n} \end{eqnarray*}$

Bemerkung: Das (n+1)-te Glied lautet $\begin{eqnarray*} a_1q^n \end{eqnarray*}$ , weil das letzte (n-te) Glied $\begin{eqnarray*} a_1q^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist!

$\begin{eqnarray*} L.S.: \ a_1 \frac{q^n - 1 + q^{n+1} - q^n}{q -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L.S.: \ a_1 \frac{q^{n+1} - 1}{q -1} \end{eqnarray*}$
__________________

Rechte Seite: In die Formel statt n -> n+1 einsetzen!

$\begin{eqnarray*} R.S.: \ a_1 \frac{q^{n+1} - 1}{q -1} \end{eqnarray*}$

QED! THAT'S IT!

mY+

sehr schön^^ und auch super erklärt Freude

Freude

leider etwas zu spät, habe gestern abend den Beweis noch selber gemacht (nachdem Calvin ihn mir net einfach sagen wollte Big Laugh

Big Laugh

)

Vielen herzlichen Dank für eure Hilfe, mir ist hier doch schon einiges klarer geworden Freude

Freude

Ist echt ein Super Board hier, werde hiernach mal öfters vorbeischauen um meine miserablen Mathe Kentnisse etwas zu verbessern Prost

Prost

1

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