Approximation von PI

12.03.2005, 11:25	Rolf20	Auf diesen Beitrag antworten »
Approximation von PI hi, ich brauche hilfe bei einem beispiel, wo ich keine ahnung habe, wie da etwas berechnen könnte: Die Zahl $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ kann unter Verwendung der arctan_Reihe aus folgenden Gleichungen approximiert werden: a) $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ = 4 * arctan 1 b) $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ = 4(arctan (1/2) + arctan (1/3)) c) $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ = 4(4*arctan(1/5) - arctan (1/239)) Ich soll jetzt erklären, wie man b) und c) erhält und dann soll ich die Genauigkeit der 3 Approximationen vergleichen. Wie kann ich dieses Beispiel bearbeiten? Ich habe keine einzige Idee!!! Danke für Tipps im voraus, Rolf
12.03.2005, 11:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Machinsche Formel, u.ä. Siehe http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=12295 Und die drei Formeln sind keine Approximationen, sondern Gleichungen - d.h. es kommt genau $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ heraus, ohne jeden Fehler. Was du mit "Genauigkeit" meinst, ist vermutlich der Fehler, wenn man die arctan-Reihe $\begin{eqnarray} \arctan(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\,x^{2k-1}=x-\frac{x^3}{5}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}\pm\ldots,\qquad \|x\|\leq 1 \end{eqnarray}$ nach endlich vielen Schritten abbricht. Nun, bei einer Leibnizschen Reihe wie hier ist dann der Approximationsfehler höchstens so groß wie der Betrag des nächsten Reihengliedes, also $\begin{eqnarray} \left\|\arctan(x)-\sum\limits_{k=1}^N~\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\,x^{2k-1}\right\|\leq\frac{\|x\|^{2N+1}}{2N+1} \end{eqnarray}$ .
12.03.2005, 14:36	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b) Das Additionstheorem für den Tangens zweier Winkel kennst du sicherlich: $\begin{eqnarray} \tan(x+y)=\frac{\tan(x) + \tan(y)}{1- \tan(x)\cdot \tan(y)} \end{eqnarray}$ Genauso gibt es ein Additionstheorem für den Arcustangens: $\begin{eqnarray} \arctan(x) + \arctan(y) =\arctan(\frac{x+y}{1-xy}) \end{eqnarray}$ Jetzt stell dir vor, du sollst 2 Zahlen x und y suchen, die die Bedingung $\begin{eqnarray} \arctan(\frac{x+y}{1-xy})=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ erfüllen, oder anders geschrieben: $\begin{eqnarray} \frac{x+y}{1-xy}=1 \end{eqnarray}$ . Du möchtest als Ergebnis möglichst einfache "schöne" Zahlenkombinationen erhalten, mit einfachen ganzen Zahlen im Nenner bei x und y, also setzt du erstmal an: $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{u} \text{ und } y=\frac{1}{v} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \frac{x+y}{1-xy}=1=\frac{\frac{1}{u}+\frac{1}{v}}{1-\frac{1}{u}\frac{1}{v}} \end{eqnarray}$ und weiter für u und v: $\begin{eqnarray} \frac{u+v}{uv-1}=1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} u+v=uv-1 \end{eqnarray}$ , und daraus $\begin{eqnarray} u=\frac{v+1}{v-1} \end{eqnarray}$ , wobei Zahlen u und v möglichst "schöne" ganze Zahlen sein sollen. Jetzt überlegst (probierst) du, welche Zahlen u und v in Frage kommen, errechnest die zugehörigen x und y und setzt die Zahlenwerte ein in $\begin{eqnarray} \arctan(x) + \arctan(y) = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ Vielleicht reicht das ja schon als Erklärung, wie man b) erhält.
12.03.2005, 16:04	Rolf20	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, auf das wäre ich nie gekommen. lg Rolf

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »