Primzahlbeweis

17.09.2007, 10:00

brunsi

Primzahlbeweis

Ist die Aussage $\begin{eqnarray*} n^2+n+41 \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ eine Primzahl wahr oder falsch?

Also ich würde das am besten mit vollständiger Induktion zeigen wollen,wenn dies möglich ist??

Sei p(n) eine primzahl, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} p(n)=n^2+n+41 \end{eqnarray*}$

dann ist für n=1:

$\begin{eqnarray*} 1^2+1+41=43 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl

für $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} p(n+1)=(n+1)^2+(n+1)+41 \end{eqnarray*}$

Ist das so weit richtig?!!

17.09.2007, 10:06

klarsoweit

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RE: Primzahlbeweis
Altbekannte Behauptung, die (leider) falsch ist. Brauchst ja nur n=41 einsetzen. Augenzwinkern

17.09.2007, 10:14

brunsi

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RE: Primzahlbeweis
istd enn überhaupt mein ansatz richtig???

ist der weg überhaupt so begehbar, wie ich ihn gegangen bin??

falls ja, wie müsste ich dann weiter folgern??

17.09.2007, 10:15

Dual Space

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RE: Primzahlbeweis
Du widerlegst die Aussage einfach mit einem Gegenbsp. und bist fertig.

17.09.2007, 10:22

brunsi

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RE: Primzahlbeweis
ja aber zunächst muss ich es doch einmal allgemein zeigen oder schlussfolgern, wohin ich überhaupt möchte!!

17.09.2007, 10:25

Dual Space

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RE: Primzahlbeweis
Du möchtest zeigen, dass die Aussage

$\begin{eqnarray*} p(n)=n^2+n+41\text{ ist für alle } n\in\mathbb{N}\text{ prim.} \end{eqnarray*}$

falsch ist. Mit anderen Worten möchtest du also zeigen, dass es (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} p(n_0) \end{eqnarray*}$ nicht prim ist. Und wie du $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ wählen musst, hat die klarsoweit schon verraten.

17.09.2007, 10:28

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Es gibt kein nichtkonstantes Polynom, welches nur Primzahlen liefert. Besonders einfach ist das für Polynome

$\begin{eqnarray*} p(n) = a_mn^m + \cdots + a_1n + a_0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} |a_0|>1 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen: Denn dann ist $\begin{eqnarray*} p(k\cdot |a_0|) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} |a_0| \end{eqnarray*}$ teilbar, für alle ganzzahligen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Das mit der vorliegenden Aufgabe verwandte Problem IMO 1987/6 (B3) hat mich damals um eine bessere Platzierung gebracht. Augenzwinkern

17.09.2007, 10:29

klarsoweit

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RE: Primzahlbeweis

Zitat:

Original von brunsi
ja aber zunächst muss ich es doch einmal allgemein zeigen oder schlussfolgern, wohin ich überhaupt möchte!!

Und wohin möchtest du? verwirrt

17.09.2007, 10:33

brunsi

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RE: Primzahlbeweis
ich wollte einfach versuchen nachzuweisen, dass die aussage wahr ist, aber dann folgern, dass sich ein widerspruch ergibt und die aussage somit falsch ist. aber das ist dann wohl der falsche weg oder??

17.09.2007, 10:34

Dual Space

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RE: Primzahlbeweis

Zitat:

Original von brunsi
... aber das ist dann wohl der falsche weg oder??

Es gibt in der Mathematik keine falschen Wege - nur längere und schwierigere; und manchmal auch erfolglose. Augenzwinkern

17.09.2007, 11:10

klarsoweit

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RE: Primzahlbeweis

Zitat:

Original von brunsi
ich wollte einfach versuchen nachzuweisen, dass die aussage wahr ist, aber dann folgern, dass sich ein widerspruch ergibt und die aussage somit falsch ist.?

Da mußt du nochmal deine Beweismethoden überdenken.
Eine Möglichkeit wäre, bekannte wahre Aussagen zu nehmen und daraus deine Aussage zu folgern. Wie wir wissen, wird dies aber nicht gelingen. Du könntest aber als wahre Aussage das hernehmen, was Arthur Dent geschrieben hat, und siehst, daß deine Behauptung dazu im Widerspruch steht. Damit hast du ungefähr das, was du wolltest.

Eine andere Beweismethode wäre, die Aussage nach und nach durch Einsetzen aller natürlichen Zahlen zu zeigen. Das ist etwas langwierig und wie wir wissen, erhalten wir bei n=41 eine falsche Aussage.

Also zusammengefaßt: willst du eine bestimmte Aussage widerlegen, dann reicht ein exemplarisches Gegenbeispiel oder der Nachweis, daß die Aussage im Widerspruch zu einer bekannten wahren Aussage steht.

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