minimaler Flächeninhalt Gerade - Koordinatenachsen

17.09.2007, 13:00

MatheP4Hilfe

minimaler Flächeninhalt Gerade - Koordinatenachsen

Hallo!
Ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht:

(Elemente der Mathematik12/13 S. 149 Aufg. 16)

Durch den Punkt (2/3) ist eine Gerade so zu legen, dass das von dieser Geraden und den positiven Koordinatenachsen gebildete Dreieck minimalen Flächeninhalt hat.

Könnt ihr mir helfen?

Ich weiß nur: Für die Gerade gilt: f(x)=mx+b (Normalform)

Da wir X wissen gilt: f(x)=m2+b

Weiter weiß ich nicht.

KÖnnt ihr mir helfen?

Liebe Grüße
Mareike

17.09.2007, 13:05

Speed

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deine Rechnung ist nicht sehr genau. Um eine Gerade zu bestimmen müssen 2 Punkte gegeben sein.

Zitat:

Da wir X wissen gilt: f(x)=m2+b

Dies müsste daher eher heißen:
$\begin{eqnarray*} 3=2\cdot m+b \end{eqnarray*}$

Was uns nicht sehr viel weiter hilft.
Vielleicht versuchst du es ja mal mit einer Zeichnung und der Gleichung für den Flächeninhalt eines Dreiecks:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}g\cdot h \end{eqnarray*}$

Wo hast du die Höhe, und wo die Grundseite? Wie kannst du diese abhängig von der Gerade gestalten?

17.09.2007, 13:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Speed
Dies müsste daher eher heißen:
$\begin{eqnarray*} 3=2\cdot m+b \end{eqnarray*}$

Was uns nicht sehr viel weiter hilft.

Natürlich hilft das weiter. Man weiß dann, wie die Gerade aussieht, und braucht nur noch die Schnittpunkte mit x- und y-Achse.

Also:
$\begin{eqnarray*} 3=2\cdot m+b \end{eqnarray*}$ nach b umstellen, in f(x)=m*x+b einsetzen und dann die Schnittpunkte bestimmen.

17.09.2007, 18:38

MatheP4Hilfe

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Erhalte ich denn dann den MINIMALSTEN Flächeninhalt? Es handelt sich schließlich um eine Extremwertaufgaben

17.09.2007, 19:39

joeehhii

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Wenn du die Geradengleichung hast, dürfte das mit dem minimalen Flächeninhalt kein Problem sein Augenzwinkern

Stell mal die Extremalbedingung auf und die Geradengleichung.
Tipp: b (Y-Achsenabschniit) entspricht der Höhe

17.09.2007, 20:03

MatheP4Hilfe

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ich hab genau gar keine idee grad...

Wenn ich 3=2m+b nach b auflöse komme ich auf 3-2m=b

Wenn ich das nun in die funktionsgleichung einsetze bringt mich das auch nicht weiter
--> 3=2m+3-2m I umstellen
3=3+2m-2m
3=3

--> sinnfrei

was ist eine extremalbedingung? ich kann das alles nicht, mein mathelehrer macht nicht wirklich unterricht und im april schreib ich mein abi unglücklich

17.09.2007, 20:08

joeehhii

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$\begin{eqnarray*} 3 = 2*m + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 3 - 2*m \end{eqnarray*}$

Das in f(x) = m*x + b mit den Koordinaten, welche du hast, einsetzen

18.09.2007, 09:26

klarsoweit

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Ich erläutere nochmal die Vorgehensweise:

Du mußt $\begin{eqnarray*} b = 3 - 2*m \end{eqnarray*}$ in die Funktionsgleichung der Geraden (das ist f(x) = m*x + b) einsetzen und dann die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen. Das wäre einmal der Funktionswert an der Stelle x=0 und einmal die Nullstelle der Funktion f.

Für jemanden, der Abi macht, sollte das kein Problem sein.

18.09.2007, 19:08

MatheP4Hilfe

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Für jemanden, der Mathedumm ist und auch noch einen schlechten Lehrer hat ist das aber ein Problem.

18.09.2007, 19:10

klarsoweit

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Das mag ein Grund sein, aber kein Hindernis. Und du könntest wenigstens sagen, bei was von dem, was ich geschrieben habe, du scheiterst.

EDIT: muß jetzt Feierabend machen.

18.09.2007, 19:10

MatheP4Hilfe

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Ich erhalte dann ja $\begin{eqnarray*} 3=3m+3-2m \end{eqnarray*}$ und für die Gleichung erhalte ich 3=3 und da hab ich oben doch schon geschrieben, dass das keinen Sinn macht.

18.09.2007, 19:12

klarsoweit

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Von dem, was du machst, war nicht die Rede.
Da steht, was du machen sollst (nicht mehr und nicht weniger):

Zitat:

Original von klarsoweit
Du mußt $\begin{eqnarray*} b = 3 - 2*m \end{eqnarray*}$ in die Funktionsgleichung der Geraden (das ist f(x) = m*x + b) einsetzen und dann die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen. Das wäre einmal der Funktionswert an der Stelle x=0 und einmal die Nullstelle der Funktion f.

Für jemanden, der Abi macht, sollte das kein Problem sein.

18.09.2007, 19:13

MatheP4Hilfe

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Tut mir leid, ich weiß echt nicht was ich wie machen muss... unglücklich

18.09.2007, 19:17

MatheP4Hilfe

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Muss ich für f(x) 0 einsetzen?

18.09.2007, 19:17

klarsoweit

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Heidinei.

$\begin{eqnarray*} b = 3 - 2*m \end{eqnarray*}$ in die Funktionsgleichung der Geraden (das ist f(x) = m*x + b) einsetzen ergibt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = m \cdot x + 3 - 2 \cdot m \end{eqnarray*}$

Jetzt f(0) bestimmen und den Schnittpunkt mit der x-Achse. Dann kennst du die Eckpunkte des Dreiecks und kannst die Fläche bestimmen.

18.09.2007, 19:18

MatheP4Hilfe

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bzw. x so stehen lassen?

ach mensch, ich hasse mathe -.- jedenfalls analysis. letztes HJ hatte ich noch 13 punkte in mathe und nun versteh ich gar nichts mehr... unglücklich

18.09.2007, 19:21

MatheP4Hilfe

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ich erhalte also [latex]f(0)= m*0+3-2m[\latex]

bringt das denn was weiter? hab ja ne unbekannte darin...

18.09.2007, 19:33

Speed

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Die Unbekannte ist unbekannt, da sie sich durch die Extremalbedingung ergibt.

Du hast also
$\begin{eqnarray*} f(0)=3-2m \end{eqnarray*}$
Dies ist der eine Eckpunkt des Dreiecks. Den anderen bekommst du mit $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ , da musst du nach x auflösen.

Das kannst du dann alles in die Formel vom Dreieck einsetzten.

18.09.2007, 19:39

MatheP4Hilfe

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wie denn? 0=2*m+b oder wie? da kann ich aber ja nicht nach x auflösen -.-

18.09.2007, 19:44

Speed

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Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} f(x) = m \cdot x + 3 - 2 \cdot m \end{eqnarray*}$

Zitat:

Orginal von Speed
$\begin{eqnarray*} f(0)=3-2m \end{eqnarray*}$

Du hast f(0) benutzt nicht f(x)

18.09.2007, 20:49

MatheP4Hilfe

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???
Sorry, aber kann mir nicht einfach jemand die Lösung schicken, ich raff NICHTS und vielleivht kann ich dann nachvollziehen was ihr meint.

18.09.2007, 21:09

Mathe-Gast

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Also schau nochmal her:

Dein Dreieck hat 3 Eckpunkte:
(0 | 0) (Ursprung)
(0 | f(0) ) (Schnittpunkt der Geraden durch deinen gegebenen Punkt mit der y-Achse)
und der letzte ist ( x0 | 0 )

und du weißt: f(x0) = 0; du weißt außerdem:

f(x) = mx + 3 - 2m

Mit der Gleichung kannst du also dein x0 in Abhängigkeit von m berechnen.

Außerdem weißt du (da dein kartesisches KoSy rechtwinklich ist):

A = 0,5 g h = 0,5 f(0) f(x0)

dann überlegst dir noch in welchem bereich die Steigung m liegen muss, so dass die Aufgabe sinnvoll ist, und dann siehst du eigentlich schon was für eine Steigung deine Gerade haben musst, dann setzt die in f(x) ein und hast deine Lösung für deine Gerade.

18.09.2007, 21:11

Mathe-Gast

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Sorry, hab mich eben verschrieben:

A = 0,5 f(0) * x0(m)

so gehört es richtig.

18.09.2007, 21:35

MatheP4Hilfe

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danke schonmal

dumme frage: aber wie löse ich f(0)=0 ?

18.09.2007, 21:37

Aradhir

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Wieso willst du das lösen?

Du brauchst f(0) = 0 nicht. Außerdem gibt der Ausdruck keinen Sinn, wenn deine Gerade nicht durch den Ursprung läuft, was sie hier sicher nicht macht.

Du brauchst nur:

$\begin{eqnarray*} A(m) = \frac{1}{2} \cdot f(0) \cdot x_{0} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ die Schnittstelle der Geraden mit der x-Achse ist, und f(0) der y-Achsen Abschnitt.

19.09.2007, 08:55

klarsoweit

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@MatheP4Hilfe: von einem angehende Abiturienten kann man verlangen, daß er sich selbst mit dem Problem beschäftigt, sich eine Skizze macht und zumindest grundlegende Überlegungen anstellt. Schon aus diesem Grund (aber nicht nur, siehe Board-Prinzip) halte ich nichts davon, dir eine fertige Lösung zu präsentieren. Dann hast du nichts gelernt und bei einer etwas anders gearteten Aufgabe stehst du wieder auf dem Schlauch. Gerade das Entwickeln der Funktion für die zu minimierende oder maximierende Größe ist die hohe Kunst. Alles weitere ist dann Pillepalle.

Zitat:

Original von Mathe-Gast
Also schau nochmal her:

Dein Dreieck hat 3 Eckpunkte:
(0 | 0) (Ursprung)
(0 | f(0) ) (Schnittpunkt der Geraden durch deinen gegebenen Punkt mit der y-Achse)
und der letzte ist ( x0 | 0 )

Ist das erstmal soweit verstanden?

Mit etwas Mühe haben wir auch die Funktionsgleichung der Funktion f aufgestellt: f(x) = mx + 3 - 2m
Den Wert von m kennen wir (noch) nicht. Aber wie man leicht sieht, ist das eine Gerade und wegen f(2)=3 geht sie in jedem Fall durch den Punkt (2; 3), egal welchen Wert am Ende das m haben wird.

Nun zurück zu unserem Dreieck. Der zweite Punkt war (0; f(0)). f(0), das wurde schon gesagt, hat den Wert 3 - 2m. Die Höhe des Dreiecks (= Länge einer der Katheten) ist also 3 - 2m. Jetzt brauchen wir noch die Länge der anderen Kathete. Diese geht vom Ursprung (0; 0) zum Punkt (x0; 0). (x0; 0) ist der Schnittpunkt der Funktion f mit der x-Achse. Es gilt also:
$\begin{eqnarray*} f(x_0) = m \cdot x_0 + 3 - 2m = 0 \end{eqnarray*}$
Das brauchst du nur nach x_0 auflösen und das ganze in die Formel für die Dreiecksfläche einsetzen (Beitrag von Aradhir).

19.09.2007, 21:28

MatheP4Hilfe

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wenn ich diese gleichung nach X(O) auflöse erhalte ich 1. Ist das richrtig?

19.09.2007, 21:30

MatheP4Hilfe

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Wenn ich diese Sachen nun in die Formel einsetze erhalte ich A=(1/2) * (3-2m)*1
= (1/2)*3-(1/2)*2m = 6-(1/2)*m

ist das richtig?

Das wäre die Funktionsgleichung für den Flächeninhalt. Nun muss ich noch rausfinden, wann der Inhalt am größten ist, oder?

20.09.2007, 08:23

klarsoweit

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Schön, daß du reinschaust. Ich dachte schon, du hättest aufgegeben.
Nein, wir geben nicht auf.

Zitat:

Original von MatheP4Hilfe
wenn ich diese gleichung nach X(O) auflöse erhalte ich 1. Ist das richrtig?

Nein. Wir prüfen deine angebliche Lösung:
x=1 in $\begin{eqnarray*} f(x) = m \cdot x + 3 - 2m = 0 \end{eqnarray*}$ einsetzen:
$\begin{eqnarray*} f(1) = m \cdot 1 + 3 - 2m = 3 - m \end{eqnarray*}$
Das wäre nur dann Null, wenn m=3 wäre, womit aber m unzulässig auf einen bestimmten Wert festgelegt wäre. Anders gesagt: bei deiner Lösung würden die möglichen Geraden durch den Punkt (2; 3) auch durch (1; 0) gehen. Das kann aber definitiv nur eine Gerade.

Damit wir irgendwie mal weiter kommen, mache ich dir das vor:
$\begin{eqnarray*} f(x_0) = m \cdot x_0 + 3 - 2m = 0 \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} m \cdot x_0= 2m - 3 \end{eqnarray*}$
<==>
$\begin{eqnarray*} x_0 = \frac{2m - 3}{m} \end{eqnarray*}$

Letzteres unter der Bedingung, daß m<>0 ist.

Zitat:

Original von MatheP4Hilfe
Wenn ich diese Sachen nun in die Formel einsetze erhalte ich A=(1/2) * (3-2m)*1
= (1/2)*3-(1/2)*2m = 6-(1/2)*m

ist das richtig?

Also das Einsetzen wäre richtig, wenn du das x_0 richtig berechnet hättest. Jedoch ist die Umformung (1/2)*3-(1/2)*2m = 6-(1/2)*m total daneben. Und ehrlich gesagt bin ich sehr erschüttert, daß sich ein Abiturient solche Dinger leistet. unglücklich

Auch die Tatsache, daß du an einfachen Gleichungsumformungen scheiterst, legt es dringend nahe, daß du dich mächtig auf den Allerwertesten setzen mußt, wenn du in Mathe auf 5 Punkte kommen willst.

20.09.2007, 15:30

Speed

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Soo...da du nur rumgeraten hast versuche ich noch einmal, dir das ganze Plausibel zu machen. Da du ja die Lösungen jetzt hast, aber wohl auch nicht wirklich weißt, was du da hast, fasse ich die letzten Lösungen nochmal zusammen.

Also man fängt am besten mit einer Zeichnung an:

Hier sieht man nur den Punkt P. Was sagt uns nun die Aufgabe? Man soll ein Dreieck finden, deren eine Seite die x-Achse und die andere die y-Achse ist und deren Hypothenuse durch P((2|3) geht. Davon gibt es unendlich viele, ich habe mal ein paar eingezeichnet:

Wie man auf dem Bild sieht habe ich den Hypothenusen Geradengleichungen zugeordnet. Damit diese Geraden mit der Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x)=m\cdot x + b \end{eqnarray*}$

durch den Punkt P(2|3) laufen, müssen sie folgende Gleichung erfüllen:

$\begin{eqnarray*} 3=m\cdot 2 +b \end{eqnarray*}$

Hier habe ich einfach nur die Koordinaten von P für x und y eingesetzt. Von diesen Geraden gibt es immernoch unendlich viele. Aber wir halten sie allgemein, da sich die genaue Gerade, die wir suchen erst durch die Lösung des Extremalproblems ergibt. Durch die zweite Gleichung kann man b in die erste einsetzten:

$\begin{eqnarray*} 3=2\cdot m + b \Leftrightarrow b=3- 2\cdot m \\ \Rightarrow f_m(x)=m\cdot x+3- 2\cdot m \end{eqnarray*}$

Man könnte diese Gleichung jetzt auch eine Geradenschar nennen.

Wenn wir jetzt z.B. die grüne Gerade

$\begin{eqnarray*} y=-2\cdot x+7 \end{eqnarray*}$

betrachten, sehen wir, dass sie einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei 7 hat, dies kann man berechnen, indem man den y-Wert an der Stelle sucht, wo die Gerade die y-Achse schneidet, was bei x=0 geschieht:

$\begin{eqnarray*} x=0 \\ \Rightarrow y=-2\cdot 0 +7=7 \end{eqnarray*}$

bei unserer allgemeinen Gerade f_m(x) lässt sich das genauso machen:

$\begin{eqnarray*} x=0 \\ \Rightarrow f_m(0)=m\cdot 0 +3-2\cdot m=3-2\cdot m \end{eqnarray*}$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse heißt also:

$\begin{eqnarray*} f_m(0)=3-2\cdot m \end{eqnarray*}$

Dies ist also die Länge der einen Seite des Dreiecks: 7 bzw. allgemein 3-2m

Die andere Seite ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Diesen rechnet man aus, indem man die Stelle sucht, an dem der Funktionswert 0 ist, erstmal wieder für die grüne Gerade:

$\begin{eqnarray*} y&=0 \\ \Rightarrow -2\cdot x_0 +7&=0 \\ \Leftrightarrow -2\cdot x_0&=-7 \\ \Leftrightarrow x_0&=\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

und jetzt für die Allgemeine:

$\begin{eqnarray*} f(x_0)&=0 \\ \Rightarrow m\cdot x_0 +3 - 2\cdot m &=0 \\ \Leftrightarrow m\cdot x_0=2\cdot m -3 \\ \\ \Leftrightarrow x_0=\frac{2\cdot m -3}{m} \end{eqnarray*}$

Du hast jetzt also 2 Seitenlängen des Dreiecks bestimmt:
Höhe: $\begin{eqnarray*} 3 - 2\cdot m \end{eqnarray*}$

Grundseite: $\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot m -3}{m} \end{eqnarray*}$

Aus diesen Daten kannst du dann die Fläche des Dreiecks gewinnen:

$\begin{eqnarray*} A_D=\frac{1}{2} \cdot g\cdot h \end{eqnarray*}$

eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} A_D(m)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\cdot m -3}{m} \cdot (3 - 2\cdot m)=\frac{(2\cdot m -3)\cdot(3 - 2\cdot m)}{2\cdot m} \end{eqnarray*}$

Welchen Teil bis hier hast du noch nicht verstanden? Es ist wichtig, dass du jeden Teil verstehst und genau weißt, warum das gemacht wurde!! Ansonsten ist dies nur ne Musterlösung :-( um eine Extremalbedingung zu finden...

Wenn du diese Gleichung jetzt aufgelöst hast sind wir erst bei dem wirklichen ausrechnen des Extremwertes. Dafür solltest du dir überlegen:
1. Was bedeutet mein m?
2. Wie ist der Definitionsbereich für m?

Es taucht nämlich noch eine weitere Schwierigkeit auf. Danach kannst du vielleicht sehen, dass es eine viel einfachere Lösung für diese Aufgabe gibt, die man allerdings auch beweisen/erklären müsste.

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