Integration durch Partialbruchzerlegung - Quadratischer Faktor im Nenner

12.03.2005, 12:07

hammel

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Integration durch Partialbruchzerlegung - Quadratischer Faktor im Nenner

Moin Moin,
folgende Aufgabe:
zerlege f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{3x-2}{(x-1)*(x-2)^{2}} \end{eqnarray*}$ gemäß dem Ansatz: $\begin{eqnarray*} \frac{3x-2}{(x-1)*(x-2)^{2}} = \frac{A}{x-1}+ \frac{B}{x-2}+\frac{c}{(x-2)^{2}} \end{eqnarray*}$

das verste hcih nicht!

ich habe im Nenner das quadraht mit der 1. Binomischenformel umgeformt und dann die Nullstellen der Nennerfunktion bestimmt:
f(x)= $\begin{eqnarray*} (x-1)(x^{2}-4x+4) \end{eqnarray*}$
x1=1
x2=2
x3=4

also ist der Ansatz bei mir:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x-2}{(x-1)*(x-2)^{2}} = \frac{A}{x-1} +\frac{B}{x-2} +\frac{C}{x-4} \end{eqnarray*}$

wie komme ich jetzt zu dem Ansatz im Lehrbuch? (da muss ich hin, da ich mit meinen Ansatz nicht weiterrechnen darf :-(

b) Begründe, dass der Ansatz $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1} \frac{B}{(x-2)^{2}} \end{eqnarray*}$ nicht zu Erfolg fürht.

Meien idee: der nenner ist ausmultipliziert ein Polynom 3. Ordnung, hat somit 3 Nullstellen und somit 3 Linearfaktoren und somit braucht man einen anstz mit A/?? + B/?? + C/??

12.03.2005, 12:11

iammrvip

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Hallo

Wink

Dein Ansatz stimmt aber nicht.

Der Ansatz müsste sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x-2}{(x-1)(x-2)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^2} \end{eqnarray*}$

Das liegt ganz einfach daran, dass man beim Ansatz alle Exponenten der Linearfaktoren mit einbeziehen muss. Du hast nämlich eine Einfach- und ein Doppelnullstelle. Also

$\begin{eqnarray*} (x - 1)^1, (x - 2)^1, (x - 2)^2 \end{eqnarray*}$

12.03.2005, 12:15

hammel

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Zitat:

Original von iammrvip
Hallo Wink

Wink

Dein Ansatz stimmt aber nicht.

hatte einnen Tippfehler und einen format-fehler drinn, sorry, ist korrigert.

Zitat:

Original von iammrvip
Das liegt ganz einfach daran, dass man beim Ansatz alle Exponenten der Linearfaktoren mit einbeziehen muss. Du hast nämlich eine Einfach- und ein Doppelnullstelle. Also

$\begin{eqnarray*} (x - 1)^1, (x - 2)^1, (x - 2)^2 \end{eqnarray*}$

Hilfe

nix versteh verwirrt

verwirrt

kannst du das evtl etwas weiter ausführen? weil so kann ich da im Moment nichts mit anfangen.

(Bei mir fällt der Groschen immer Pfennigweise)

12.03.2005, 12:21

iammrvip

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Ich zeige es mal an verschiedenen Beispielen:

Bsp. 1 führt zu dem Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x + 4}{(x+1)(x-3)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 3} \end{eqnarray*}$
Hier treten alle Linearfaktoren nur in einfacher Potenz auf. Du musst den Nenner sozusagen nur in zwei Summanden "auseinanderziehen".

Bsp. 2 führt zu dem Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x + 4}{(x-1)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} \end{eqnarray*}$
Hier tritt eine Doppelnullstelle auf. Dadurch ergibt sich ein Binom im Nenner. Man muss nun beim Ansatz der Partialbruchzerlegung alle Potenzen im Nenner berücksichtigen. Da heißt hier 1 und 2.

Bsp. 3 führt zu dem Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 - 3x + 4}{(x-1)^2(x+1)(x-3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 3} \end{eqnarray*}$
Hier treten nun 2 einfach und eine Doppelnullstelle auf. Wie "ziehen" den Bruch wieder auseinander, aber müssen dabei wieder die Doppelnullstelle berücksichtigen.

12.03.2005, 13:20

hammel

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ich hoffe, denke, vermute es verstanden zu haben.

1) ist klar, das habe ich mir selbst auch schon herleiten können.

3) ist eine kombination aus 1) und 2) und somit auch logisch

2) intepretiere ich so:
es gibt bei $\begin{eqnarray*} (x-1)^{2} \end{eqnarray*}$ 2 Nullstellen, die beide bei 1 liegen.
das ist dann die doppelnustelle (wie du sie nanntest)
die doppelnullstelle wird dann beim Linearfaktor so brerüpcksichtig, wie du es geschrieben hast.

jetzt vermute ich, wenn es $\begin{eqnarray*} \frac {3x+4}{(x-1)^{3}} \end{eqnarray*}$ gewesen wäre, dann hätte man $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{x-1)^{3}} \end{eqnarray*}$

und ganz allgemein:
$\begin{eqnarray*} \frac{3x+4}{(x-1)^{k}}= \frac{A}{x-1}+ \frac{B}{(x-1)^{2}}+ ....\frac{k-te Buchstabe im Alphabet}{(x-1)^{k}} \end{eqnarray*}$

12.03.2005, 13:33

klarsoweit

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genau!

Freude

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12.03.2005, 17:17

hammel

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ok, ich glaube ich habe das jetzt soweit verstanden.
aber jetzt habe ich ein Problem beim Koeffizientenvergleich:

wenn ich den Ansatz auf einen Hauptnenner bringe habe ich als Nenner:
$\begin{eqnarray*} (x-1)\cdot (x-2)^{3} \end{eqnarray*}$

ich konnte aber aus dem Zähler (x-2)ausklamern und kürzen, jetzt stimmt der Nenner mit der Ausgangsfunktion überein, jedoch habe ich als Zähler einen Term, mit dem ich nichts anfangen kann:
$\begin{eqnarray*} B\cdot (x-1)\cdot(x-2)+C\cdot (x-1)+A\cdot (x-2)\cdot (x-2)^{2} = Bx^{2}-3Bx+2B+Cx-C+Ax^{2}-4Ax+4A \end{eqnarray*}$

12.03.2005, 17:37

iammrvip

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Hauptnenner braucht man nicht unbedingt.

Einfach die ganze Gleichung $\begin{eqnarray*} \cdot (x-1)(x-2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-2 = A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1) \end{eqnarray*}$

Jetzt Klammern auflösen, und ordnen.

12.03.2005, 17:56

hammel

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ok,
ausmultipliziert und umgestellt erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 3x-2=Ax^{2}+Bx°{2}-4Ax-3Bx+4A+2B \end{eqnarray*}$

jetzt muss eigentlich x ausgeklammert werden, doch habe ich einmal x² und nur x.

das Thema scheint echt anstrengend und für mich noch nicht ganz durchsichtig zu sein traurig

traurig

, danke dass du dir so viel mühe mit mir gibst Gott

Gott

12.03.2005, 18:54

iammrvip

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Ich setze mal Klammer um es dir zu verdeutlichen:

$\begin{eqnarray*} 3x-2 &= A(x - 2)^2 + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1) \\ 3x-2 &= Ax^2 - 4Ax + 4A + Bx^2 -3Bx + 2B + Cx - C \\ 3x-2 &= (A + B)x^2 + (-4A - 3B + C)x + (4A + 2B - C) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du ein Gleichungssystem aufstellen. Alles was vor den $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , steht alles vor dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und alles ohne $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

12.03.2005, 19:00

hammel

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soweit war ich auch schon, aber um deinen satz vortzuführe/ergänzenn:

alles was vor dem x² steht ist Null (links gibt es kein x²), alles was vor dem X steht ist 3 und alles ohne x ist -2

12.03.2005, 19:06

iammrvip

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Japp also:

$\begin{eqnarray*} A + B &= 0 \\ -4A - 3B + C &= 3 \\ 4A + 2B - C &= -2 \end{eqnarray*}$

Das GLS musst du jetzt einfach lösen und sagst mir dann was du raus hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

12.03.2005, 19:12

hammel

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A=2/3
B=-2/3
C=6 2/3

besten danke! jetzt istr der groschen endlich gefallen!

12.03.2005, 19:22

iammrvip

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nein, es kommt

$\begin{eqnarray*} A &= 1 \\ B &= -1 \\ C &= 4 \end{eqnarray*}$

raus...

12.03.2005, 19:45

hammel

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ja klarr... ich habe ja auch dividiert statt subtrahiert.... selten dämlich

12.03.2005, 19:54

iammrvip

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Big Laugh

passiert. Also ist unser Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x-2}{(x-1)(x-2)^2} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{4}{(x - 2)^2} \end{eqnarray*}$

13.03.2005, 11:12

hammel

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kann bitte ein Admin oder Mod diesen post löschen?
mir ist aufgefallen, dass ich hier völligen schwachsinn gerechnet habe und daher nciht auf das selbe ergebniss kommen konntem, danke!

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