Vektorraum

17.09.2007, 11:17

Ado

Vektorraum

HI habe eine Frage :

Ich möchte gerne wissen wie ich den Vektorraum V erhalten soll , um dann nchzu weisen das bestimmte Vektoren diesem Vektorraum angehören :

V sei der von den Vektoren (1, 2, 3, 4), (0, 1, 3, 5)
und (0, 0, 0, 3) aufgespannte Vektorraum.

Welche Vektoren sind in V enthalten:

1) (3, 4, 3, 0)
2) (1, 1, 0, 2)
3) (2, 2, 2, 0)
4) (7, 0, 0, 7)
5) (0, 1, 3, 0)
6) (0, 0, 0, 0)

Wie geht das jetzt ?

Muss ich auch aus den Vektoren die dort stehen ne Mtrix bilden , um weiter zu kommen ??

....

Danke im voraus !

17.09.2007, 11:23

klarsoweit

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RE: Vektorraum
Wenn x einer der gesuchten Vektoren ist, dann mußt du im Prinzip prüfen, ob es Skalare a, b und c gibt, mit:

a * v1 + b * v2 + c * v3 = x

Daraus erhältst du ein System mit 4 Gleichungen. Du kannst auch mit Matrizen arbeiten. Dazu mußt du zeigen, daß die Matrix aus den Vektoren v1, v2, v3 und x den Rang 3 hat.

EDIT: Für Aufgabe 6) ist der Fall sofort klar.

17.09.2007, 11:31

Ado

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Wenn x einer der gesuchten Vektoren ist, dann mußt du im Prinzip prüfen, ob es Skalare a, b und c gibt, mit:

a * v1 + b * v2 + c * v3 = x

Daraus erhältst du ein System mit 4 Gleichungen.
???

Kannst du mir vielleicht nur eine Gleichung aufstellen damit ich es ein bisschen nachvollziehen kann ?

Also ich weiss jetzt nicht was in meiner Aufgaben stellung a , b , oder c ist , und schon gar nicht wie v1 einen wert zu weisen soll ??

17.09.2007, 11:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ado
Also ich weiss jetzt nicht was in meiner Aufgaben stellung a , b , oder c ist , und schon gar nicht wie v1 einen wert zu weisen soll ??

Wie wäre es mit v1=(1, 2, 3, 4), v2=(0, 1, 3, 5) und v3=(0, 0, 0, 3) ?
Das hätte doch jetzt auf der Hand gelegen. Vielleicht solltest du dich erstmal mit dem Gedanken beschäftigen, was es bedeutet, wenn ein Vektor x zu einem Vektorraum gehören soll. Richtig: der Vektor x muß sich irgendwie aus den Vektoren, die den Vektorraum aufspannen, linear kombinieren lassen. Also in diesem Fall müßte es Skalare a, b und c geben mit:

$\begin{eqnarray*} a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.09.2007, 11:43

Ado

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Soll das mit den Matrizen so Funktionieren :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und nach dem Gausch eliminations verfahren bekommt man :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &0 & -1& 0 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heisst der Rang der Matrix ist 2 ! ( Dimension auch 2 )

Oder liege ich schon von anfang an falsch ???

17.09.2007, 11:45

Dual Space

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Zitat:

Original von Ado
Oder liege ich schon von anfang an falsch ???

Ja leider. In deinem letzen Post stimmt so ziemlich gar nichts.

17.09.2007, 11:50

Ado

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Deiner skizze nach zu urteilen , könnte mn zum Beispiel fürs Beispiel :

a=3 , b= -2 , c=-2 / 3

Und somit würde dies für den Vektor stimmen !

17.09.2007, 11:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ado
Soll das mit den Matrizen so Funktionieren :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ja, wenn du da den zu prüfenden Vektor noch drunter schreibst. Dann natürlich noch das Gauß-Verfahren richtig anwendest. Augenzwinkern

EDIT: schreibe $\begin{eqnarray*} c = \frac{-2}{3} \end{eqnarray*}$ . Ja, dann wäre es ok.

17.09.2007, 11:52

Ado

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Wenn ich jetzt noch den zu suchenden Vektor drunter schreibe , auf was muss ich dann achten um zu wissen das der Vektor dazu gehört , muss ich ne einheitsmatrix bekommen ???

17.09.2007, 12:02

mercany

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Zitat:

Original von Ado
Wenn ich jetzt noch den zu suchenden Vektor drunter schreibe , auf was muss ich dann achten um zu wissen das der Vektor dazu gehört , muss ich ne einheitsmatrix bekommen ???

Du musst den Rang deiner jeweiligen Matrix überprüfen. Damit dein Vektor teil des Vektorraumes ist, muss R(A) = 3 gelten. Warum, überlegst du dir selbst.

Gruß, mercany

17.09.2007, 12:04

Ado

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THX

danke für eure bemühungen ! Gott