Ungleichungen

17.09.2007, 16:32

tim taler

Ungleichungen

Hallo zusammen,

mein nächstes Thema sind Ungleichungen. Habe nun einige berechnet und gemerkt das es bei manchen Aufgaben Probleme mit dem Relationszeichen gibt. Ich gebe mal 2 Beispiele...

1. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 2x-17<13+6x\Rightarrow +17 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x<30+6x\Rightarrow -6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x<30 \Rightarrow /(-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<-\frac{30}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<-7,5 \end{eqnarray*}$

Das richtige Ergebnis lautet aber x>-7,5. Wo hätte und warum muss das Relationszeichen geändet werden?

2. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{x} -4>\frac{4}{x} -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5-4x}{x} > \frac{4-5x}{x} \Rightarrow *x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5-4x>4-5x\Rightarrow +5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5+x>4\Rightarrow -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$

Laut Lösung sollte x<-1 sein. Also wohl dasgleiche Problem wie oben. Wann ist das Relationszeichen umzukehren?

Gruss, tt

17.09.2007, 16:35

tmo

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du musst immer dann das relationszeichen ändern, wenn du mit einer negativen zahl multiplizierst.
das kannst du dir selbst schnell klar machen.

bei der 2 musst du eine fallunterscheidung machen, da du ja vorher nicht weißt, ob x negativ oder positiv ist.

17.09.2007, 16:39

tim taler

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danke.
aber im ersten Beipiel teile ich doch durch - 4.
Und was genau ist eine Fallunterscheidung?

Gruss, tt

17.09.2007, 17:03

tmo

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$\begin{eqnarray*} a : (-4) = a \cdot (-\frac{1}{4}) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

und eine fallunterscheidung würde in diesem fall folgendermaßen aussehen:
wenn du mit x multiplizierst:
1. fall x > 0: relationszeichen wird nicht umgekehrt.
2. fall x < 0: relationszeichen wird umgekehrt.

18.09.2007, 09:42

tim taler

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hi tmo,

zu Beispiel 1 ist nun alles klar. Die Regel hast Du ja oben schon genannt.
Nun zum Bespiel 2:
Woher weiß ich überhaupt wann eine Fallunterscheidung notwendig ist?

18.09.2007, 10:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von tim taler
Woher weiß ich überhaupt wann eine Fallunterscheidung notwendig ist?

Immer wenn du eine Ungleichung mit etwas multiplizierst oder dividierst, mußt du auf das Vorzeichen des Faktors bzw. Divisors achten. Wenn du also mit x multiplizierst, was mußt du dann tun?

18.09.2007, 10:08

tim taler

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wenn ich nur mit x multipliziere muss ich eigentlich nix tun. Wohingegen wenn ich mit -x multipliz. muss ich das Relationszeichen umdrehen, richtig?

Und ist in Beispiel 2 nur darauf zu achten ob am Schluß x<0 oder x>0 steht und dementsprechend vertauschen. Das wäre dann die Fallunterscheidung...
Hoffe es passt soweit?

Gruss, tt

18.09.2007, 10:20

klarsoweit

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Nein. Wenn du mit x multiplizierst, mußt du schon etwas tun. Du mußt nämlich wissen, was für ein Vorzeichen das x hat, sprich: das x kann einen negativen oder einen positiven Wert beinhalten. Das mußt du unterscheiden.

Komischerweise gehen Schüler immer davon aus, daß eine Variable immer positiv ist. unglücklich

18.09.2007, 10:34

tim taler

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In Bsp. 2 im ersten Beitrag wird mit x mutlipliziert.
Nur woher soll ich wissen ob dieses x einen pos. oder neg Wert beinhaltet? Bei einen neg. wird das Relationszeichen dann anschliessend verändet, ok. Aber muss ja erstmal wissen ob x pos. od. neg.

Gruss, tt

18.09.2007, 10:44

klarsoweit

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Und dazu macht man dann eben Fallunterscheidungen:
1. Fall x > 0
2. Fall x < 0

18.09.2007, 11:12

tim taler

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1. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 2x-17<13+6x\Rightarrow +17 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x<30+6x\Rightarrow -6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4x<30 \Rightarrow /(-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-\frac{30}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-7,5 \end{eqnarray*}$

Relationszeichen wird nach neg. Multiplikation umgekehrt. Das passt!

2. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{x} -4>\frac{4}{x} -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5-4x}{x} > \frac{4-5x}{x} \Rightarrow *x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5-4x>4-5x\Rightarrow +5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5+x>4\Rightarrow -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} 5-4x<4-5x\Rightarrow +5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5+x<4\Rightarrow -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$

Ist das nun richtig??

Meine Lösungmenge lautet

$\begin{eqnarray*} L=x|x\in \mathbb R und (-\infty <x<-1 oder 0<x< \infty)\ \end{eqnarray*}$

Fall 1 besagt x>-1
Fall 2 besagt x<-1

wenn x nun kleiner -1, dann liegt es zwischen -unendlich und -1.
wenn es nun grösser als -1, warum liegt es dann zwischen 0 und unendlich und nicht zwischen -1 und unendlich?

Gruss, tt

18.09.2007, 11:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} \frac{5-4x}{x} > \frac{4-5x}{x} \Rightarrow *x \end{eqnarray*}$

Rede ich eigentlich so undeutlich?

Nochmal klar und deutlich:
Du mußt an dieser Stelle eine Fallunterscheidung machen.
Du mußt also sagen: "Ich nehme als 1. Fall an, daß x > 0 ist". Erst dann darfst du mit x multiplizieren, ohne das Vorzeichen umzudrehen.

Wenn du mit dem 1. Fall fertig bist, gehst du zurück zu dieser Stelle und betrachtest den 2. Fall x < 0.

18.09.2007, 12:57

tim taler

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genau dieses wollte ich ja machen.
Verstehe nicht wo der Fehler liegt.

habe im ersten Fall x>0 betrachtet und kein Relationszeichen verändet.
Im zweiten Fall habe ich das R-zeichen verändet weil ich x<0 betrachtet habe.

Gruss, tt

18.09.2007, 13:10

klarsoweit

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OK. Habe nicht so genau geschaut. Du mußt das aber auch deutlich machen. Sonst weiß der Leser nicht, was los ist. Ich schreibe das mal auf, wie das formal besser wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{x} -4>\frac{4}{x} -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5-4x}{x} > \frac{4-5x}{x} ~| * x \end{eqnarray*}$

1. Fall x > 0:

$\begin{eqnarray*} 5-4x>4-5x ~| +5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5+x>4 ~| -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$

Da in diesem Fall x > 0 vorausgesetzt wurde, verbleibt als Lösung x > 0.

2. Fall: x < 0

$\begin{eqnarray*} 5-4x<4-5x ~| +5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5+x<4 ~| -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$

Da in diesem Fall x < 0 vorausgesetzt wurde, verbleibt als Lösung x < -1.

Die Lösungsmenge ist dann so, wie du geschrieben hast. Ich würde aber auf die Unendlichzeichen verzichten. Sie bringen keine zusätzliche Information und sind im Zusammenhang mit Mengen eher ungewöhnlich.

18.09.2007, 13:40

tim taler

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Vielen Dank klarsoweit!
Werde mich in Zukunft bemühen ein wenig deutlichere Darstellungen zu wählen Augenzwinkern

Gruss, tt

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