Eigenwertgleichung

17.09.2007, 17:24	jonny81	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwertgleichung Hallo, kann mir bitte einer helfen und mir sagen, wie man auf den 1-dim. bzw. 2-dim. Fall kommt? $\begin{eqnarray} m\vec{\ddot x}_i=\frac{3}{2}\sum_{i\neq j}^{N}\left[\frac{5(\vec{r}_i^0 - \vec{r}_j^0)^2\left(\vec{x}_j-\vec{x}_i\right)}{\|\vec{r}_i^0 - \vec{r}_j^0\|^7}+\frac{\left(\vec{x}_i-\vec{x}_j\right)}{\|\vec{r}_i^0 - \vec{r}_j^0\|^5}\right] \end{eqnarray}$ mit dem ansatz $\begin{eqnarray} \vec{x}_i(t)=\epsilon_\lambda(\vec{q})e^{i\left(\vec{q}\vec{r}_i^0-\omega_\lambda(\vec{q})t\right)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{\ddot x}_i(t)=-\omega^2\epsilon_\lambda(\vec{q})e^{i\left(\vec{q}\vec{r}_i^0-\omega_\lambda(\vec{q})t\right)} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} -\omega^2_\lambda(\vec{q})\epsilon_\lambda(\vec{q})=\mathcal{A}\epsilon_\lambda(\vec{q}) \end{eqnarray}$ wobei für den 1-dimensionalen Fall $\begin{eqnarray} \mathcal{A}=\frac{48}{m}\sum_{j=1}^\infty \frac{\sin^2(qj/2)}{j^5}=\frac{12}{m}\left[2\zeta(5)-\text{Li}_5(e^{iq})-\text{Li}_5(e^{-iq})\right] \end{eqnarray}$ und den 2-dimensionalen Fall $\begin{eqnarray} \mathcal{A}=\frac{3}{m}\sum_{j\neq 0}\left[1-\frac{5}{\|\vec{r}_j^0\|^2}\begin{pmatrix}(x_j^0)^2&x_jy_j\\x_jy_j&(y_j^0)^2\end{pmatrix}\right]\frac{\left(1-e^{i\vec{q}\vec{r}_j^0}\right)}{\|\vec{r}_j^0\|^5} \end{eqnarray}$ ist. Danke! Gruss jonny

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