Minimalpolynom effizient bestimmen?

17.09.2007, 18:00

gothino

Minimalpolynom effizient bestimmen?

Hallo zusammen,

habe eine Aufgabe wo das Minimalpolynom zu finden ist. Das kann ich, nur wundere ich mich ob es nicht einen effizienteren Weg als den meinen gäbe, und zwar beim ausrechnen ohne Hilfsmittel Computer, so wie es bei einer Prüfung zu machen wäre)
Die Matrix A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das charakteristische Polynom ist
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2-t & 5 \\ 0 & 2-t \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -t & 2 \\ 3 & 5-t \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante ausgerechnet ergibt t^4 - 9t^3 + 18t^2 + 4t - 24

Jetzt kommt der Teil der für mich aufwändige Teil:
1) Nullstellen des Polynoms / Eigenwerte finden:
Kann ich das nur über Trial & Error, oder gibt es hier einen einfachen Weg die Eigenwerte direkt in der Matrix zu sehen oder ersichtlich zu machen.
Das korrekte Ergebnis sollte lauten: (t-2)^2*(t+1)*(t-6)

2) Minimalpolynom finden:
Mache ich durch Testen: Also erst testen ob die Matrix in die Linearfaktoren ohne Hochzahl eingesetzt (also hier in (t-2)*(t+1)*(t-6)) Null ergibt, wenn nicht dann hochzahl stufenweise erhöhen bis algebraische Vielfachheit erreicht. Gibt's hier nicht auch einen einfacheren Weg als Trial & Error?
Danke im voraus und lg
gothino

17.09.2007, 18:10

therisen

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Hallo,

1) Jede ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler des konstanten Gliedes -24, d.h. man kann geschickt raten und dann eine Polynomdivision durchführen.

2) Ich würde die Jordan-Normalform bestimmen - daraus kann man das Minimalpolynom direkt ablesen.

Gruß, therisen

17.09.2007, 18:19

gothino

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Hallo,

vielen Dank für die rasche Antwort:
zu 1) muss ich noch blöd nachfragen: Sind Eigenwerte immer ganzzahlig, hilft mir dieser Hinweis also immer?
zu 2) liege ich richtig damit dass man Eigenwerte nur direkt aus der Diagonalmatrix und der Jordan'schen Normalform ablesen kann?
(Wie man zweiteres bestimmt da bin ich noch beim lernen)
Danke und lg
gothino

17.09.2007, 18:22

WebFritzi

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RE: Minimalpolynom effizient bestimmen?

Zitat:

Original von gothino
Das korrekte Ergebnis sollte lauten: (t-2)^2*(t+1)*(t-6)

Also ist das Minimalpolynom entweder

(t-2)^2*(t+1)*(t-6)

oder

(t-2)*(t+1)*(t-6).

Ich denke also, dass Einsetzen reicht. Man muss nicht erst die Jordansche Normalform bestimmen (mehr Aufwand). Nichtsdestotrotz wäre das eine gute Übung. Augenzwinkern

17.09.2007, 18:23

therisen

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Zitat:

Original von gothino
zu 1) muss ich noch blöd nachfragen: Sind Eigenwerte immer ganzzahlig, hilft mir dieser Hinweis also immer?

Nicht unbedingt ganzzahlig, aber wenn das Polynom einen Grad größer oder gleich 3 hat, dann ziemlich sicher (außer du sollst sie nicht berechnen können (das kommt auch vor)).

Zitat:

Original von gothino
zu 2) liege ich richtig damit dass man Eigenwerte nur direkt aus der Diagonalmatrix und der Jordan'schen Normalform ablesen kann?

Kommt drauf an, was du unter Diagonalmatrix verstehst. Aber ganz grob gesprochen kann man deine Frage schon (vorsichtig) bejahen.

17.09.2007, 18:54

gothino

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ok, kenn mich aus
danke für die antworten smile

lg
gothino

19.09.2007, 15:04

SpätDran

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RE: Minimalpolynom effizient bestimmen?

Zitat:

Original von gothino
Das charakteristische Polynom ist
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2-t & 5 \\ 0 & 2-t \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -t & 2 \\ 3 & 5-t \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante ausgerechnet ergibt t^4 - 9t^3 + 18t^2 + 4t - 24

Jetzt kommt der Teil der für mich aufwändige Teil:
1) Nullstellen des Polynoms / Eigenwerte finden:
Kann ich das nur über Trial & Error, oder gibt es hier einen einfachen Weg die Eigenwerte direkt in der Matrix zu sehen oder ersichtlich zu machen.
Das korrekte Ergebnis sollte lauten: (t-2)^2*(t+1)*(t-6)

In diesem Fall stehen links schon 2 Eigenwerte, oder

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2-t & 5 \\ 0 & 2-t \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -t & 2 \\ 3 & 5-t \end{vmatrix}= (2-t)^2 \cdot \begin{vmatrix} -t & 2 \\ 3 & 5-t \end{vmatrix}= (2-t)^2 \cdot (t^{2}-5t-6)=(2-t)^2 \cdot (t+1) \cdot(t-6) \end{eqnarray*}$

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