Arcsin und Arctan Herleitung

12.03.2005, 14:04

Quadrupel

Arcsin und Arctan Herleitung

Hallo, ich brauche die Herleitung des Arcsin/c os und arctan, allerdings habe ich absolut garkeinen Plan wie ich das angehen soll... Im inet habe ich nichts ergooglen können. Könnt ihr mir vielleicht einen Hinweis geben, wie ich meine Herleitung bekomme?

12.03.2005, 15:34

etzwane

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Was willst du da herleiten, die Arcussinus-Funktion ist einfach definiert als die Umkehrung zur Sinus-Funktion usw.

Mit x=sin(y) erhältst du y=arcsin(x) usw.

Schau auch mal hier

12.03.2005, 16:08

Quadrupel

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Hi, und Danke erstmal!
Also das wurde einfach so definiert? Aber wenn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x²} \end{eqnarray*}$ die Ableitung von $\begin{eqnarray*} arctan(x) \end{eqnarray*}$ ist, dann muss es doch irgendeine Herleitung für sowas geben, oder?

12.03.2005, 16:14

Egal

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Da gibts doch die schicke Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion.
$\begin{eqnarray*} y=f(x),\qquad f'(x)\neq0\\ \Rightarrow {f^{-1}}'(x)=f'(x)^{-1} \end{eqnarray*}$

12.03.2005, 16:26

etzwane

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Also, du willst die Ableitung von arctan(x) herleiten ?

Es sei y=arctan(x), gesucht ist y' nach x.

Dann ist x=tan(y) und x'=1/cos²(y)=1+tan²(y)=1+x² abgeleitet nach y.

Dann ist mit y' = 1/x' folglich: y'=1/(1+x²).

12.03.2005, 18:25

Frooke

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Zitat:

Original von Egal
Da gibts doch die schicke Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion.
$\begin{eqnarray*} y=f(x),\qquad f'(x)\neq0\\ \Rightarrow {f^{-1}}'(x)=f'(x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Müsste da nicht stehen:
$\begin{eqnarray*} {f^{-1}}'(x)=f'(y)^{-1} \end{eqnarray*}$

12.03.2005, 19:22

Mathespezialschüler

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Richtig, Frooke. Und um es mal ganz klar zu stellen, klammere ich mal noch:

$\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}\right)'(x)=\left(f'(y)\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Man kann es auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}\right)'(x)=\left(f'\left(f^{-1}(x)\right)\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

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