(4n)!/(2n)!

17.09.2007, 23:45

Alexandra87

(4n)!/(2n)!

Hallo,

vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:

a) Schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{(4n)!}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ als Produkt natürlicher Zahlen.

b) Berechne den Quotienten in a) für $\begin{eqnarray*} n=0, 1, 2, 3. \end{eqnarray*}$

c) Finde alle Zahlen $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} \frac{(4n)!}{(2n)!}=2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{(4n)!}{(2n)!}=12 \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Frage zielt hauptsächlich auf a) hin.
b) ist einfach, müssen ja nur für n die entsprechenden Werte eingesetzt werden.
Und für c) ergeben sich durch probieren bzw. aufgrund von Aufgabe b) auch die Lösungen. Einen Rechenweg dazu kann ich mir aber auch auf Grund des Ergebnisses von a) vorstellen. Das versuche ich dann erst mal, wenn ich für a) eine Lösung habe.
Ich habe die anderen Aufgaben nur dazugeschrieben, damit ihr a) im Zusammenhang seht - falls das etwas hilft.

17.09.2007, 23:55

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

(a) Kürzen!

17.09.2007, 23:57

Alexandra87

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
(a) Kürzen!

schön recht und gut, aber wie?

anhand von beispielen (siehe b) kann man immer die erste hälfte der faktoren des zählers mit allen faktoren des nenners kürzen. aber wie geht das allgemein?

18.09.2007, 00:05

Gnu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ausgeschrieben ist es ja nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} \frac{4n\cdot (4n-1) \cdot ... \cdot (2n+1) \cdot (2n) \cdot (2n-1) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2n) \cdot (2n-1) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \end{eqnarray*}$

Müsste eigentlich helfen.

18.09.2007, 00:12

Alexandra87

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, d.h. ich kann das ganze dann kürzen zu $\begin{eqnarray*} 4n \cdot (4n-1) \cdot ... \cdot \end{eqnarray*}$ , aber was sind dann die letzten (z.B. beiden) Glieder? ist das dann $\begin{eqnarray*} (2n+2) \cdot (2n+1) \end{eqnarray*}$ ?

wenn das ganze so aussieht, müsste mir vielleicht doch noch jemand bei c) auf die sprünge helfen.
ich versuch's mal, so weit es geht:

$\begin{eqnarray*} \frac{(4n)!}{(2n)!}=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4n \cdot (4n-1) \cdot ... \cdot (2n+2)\cdot (2n+1)=2 \end{eqnarray*}$

wie forme ich dann weiter um?

(mit =12 geht das dann analog)

18.09.2007, 00:20

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Vllt. hilft dir ja das schon weiter: 2 ist eine Primzahl

für 12 musst du dann die Primfaktorzerlegung anschauen smile

18.09.2007, 00:23

Alexandra87

Auf diesen Beitrag antworten »

also für 2 ist n=1/2.
mit der begründung, dass 2 eine primzahl ist, brauche ich dann keinen weiteren rechenweg.
danke. Wink

und für 12 ist n=1, das sieht man ja, wenn man aufgabe b) gelöst hat.

ich wollte nur wissen, ob es da einen "eindeutigen rechenweg" gibt.
die lösungen sind mir klar und auch, warum das die lösungen sind.

18.09.2007, 00:31

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Der eindeutige Rechenweg kann über die Primfaktorzerlegung erfolgen.

Beachte das 1/2 aber keine Lösung hier darstellt, da die Lösung in den natürlichen Zahlen sein muss.

18.09.2007, 00:35

Alexandra87

Auf diesen Beitrag antworten »

ups. stimmt.
und was ist dann die lösung? gibt es überhaupt eine??

18.09.2007, 00:36

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein für 2 gibt es keine Lösung

18.09.2007, 00:40

Alexandra87

Auf diesen Beitrag antworten »

danke euch für die lösungen! Wink

Neue Frage »

Antworten »

(4n)!/(2n)!

Verwandte Themen