Ebenengleichung

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12.03.2005, 16:08	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenengleichung Hi ihr Lieben! Wir werden grad mla wieder mit analytische Geometrie gequält und ich hab echt null Plan mehr davon :o( Anhand meiner alten Unterlagen werd ich leider auch nicht schlau.. Also folgendes: g: $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} r + \begin{pmatrix} 1 \\- 1 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ h: $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ - 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} s \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Die Geraden g und h bestimmen die Ebene E. Geben Sie für die Ebene E je eine Gleichung Normalenform. b) Zeigen Sie, dass der Punkt P (-2/-1/-3) nicht in der Eben liegt. Berechnen SIe den Abstand des Punktes P von der Ebene E. Der Punkt P wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes P'. Ich hab leider absolut gar keinen Plan dazu :o// Könnt ihr mir bitte irgendwie auf die SPrünge helfen?! Vielen Dank schon mal...
12.03.2005, 16:38	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a.) Ich nehme an, du sollst die Gleichung der Ebene bestimmen, die beide Geraden enthält. Das kannst du machen, indem du die Richtungsvektoren der beiden Geraden als Spannvektoren der Ebene und einen beliebigen Punkt auf einer der Geraden als Stützvektor verwendest. Dann kannst du die so ermittelte Ebenengleichung in Parameterform in die Normalenform umwandeln
12.03.2005, 18:27	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
oder du berechnest aus den beiden Richtungsvektoren der Geraden gleich den Normalvektor der Ebene mittels Kreuzprodukt und verwendest die Formel $\begin{eqnarray} \vec{n}\cdot \vec{x}=\vec{n}\cdot \vec{x_1} \end{eqnarray}$ , wobei du für $\begin{eqnarray} \vec{x_1} \end{eqnarray}$ entweder den Ortsvektor zum gegebenen Punkt von g oder h nehmen kannst b) setze den Punkt in die Ebenengleichung ein, falls du eine falsche Aussage erhältst, liegt er nicht drauf den Normalabstand erhältst du mit der HNF oder, da du den Punkt ja auch spiegeln musst, so. stelle eine Normale auf die Ebene durch den Punkt auf, schneide sie mit der Ebene -> Schnittpunkt S, $\begin{eqnarray} \|\vec{PS}\| \end{eqnarray}$ ist dann der Abstand. $\begin{eqnarray} \vec{OP'}=\vec{OS}+\vec{PS} \end{eqnarray}$
13.03.2005, 11:46	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, für die Ebenengleichung hab ich jetzt E: $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} r + \begin{pmatrix} 1 \\- 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} s \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus. Stimmt das so?? Wie komme ich denn auf den Normalenvektor ? Ich habe hier zwei Formeln gefunden und bekommen 2 unterschiedliche Lösungen raus.... zu b) Zeigen, dass der Punkt nicht in der Ebene liegt, hab ich gemacht, kommt 10 = 0 raus, ist ja'ne falsche Aussage, daher liegt der Punkt nicht in der Ebene....
13.03.2005, 12:31	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
du kommst auf den normalenvektor indem du das kreuzprodukt der beiden spannvektoren bildest. übrigends ist es für b) auch einfacher, erst die Koordinatenform der ebene mit Hilfe des Normalenvektors aufzustellen.
13.03.2005, 13:40	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 * b_2 \\ a_3 * b_1 - a_1 * b_3 \\ a_1 * b_1 - a_2 * b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? letztendlich erhalte ich da dann $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} - 1 \\ - 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , stimmt das??? und danach ??
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13.03.2005, 13:53	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, wenn du das Kreuzprodukt bildest, kommt folgendes heraus : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12-0 \\ 0-21 \\ 1(-2)-(-1)1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Du erhälst also als Gleichung in Koordinatenform $\begin{eqnarray} -2x -2y -z + d =0 \end{eqnarray}$ Einen Punkt einsetzen und du hast d; mit dieser Gleichung kannst du dann nachweisen, dass der Punkt nicht in der Ebene liegt. Der Rest geht so wie von grybl beschrieben, du stellst eine Lotgerade von P auf die Ebene auf, berechnest den Lotfußpunkt und dann den Abstand von P zu diesem Lotfußpunkt
13.03.2005, 13:59	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
@4c1d Auch das ist nicht richtig. Mach mal die Probe. Dein Normalenvektor ist nicht senkrecht auf den beiden anderen. Richtig ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot (-1)-0\cdot (-2) \\ 0\cdot 1 -1\cdot (-1) \\ 1\cdot (-2)-(-1)\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.03.2005, 14:23	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid, ich hatte einen der spannvektoren falsch abgetippt. Es muss natürlich heißen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ worauf mein kreuzprodukt auch stimmt
13.03.2005, 14:23	Doppelmuffe	Auf diesen Beitrag antworten »
@calvin ja, das ist richtig. aber nicht die aufgabe.
13.03.2005, 15:10	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups Da habe ich doch glatt übersehen, dass der Fehler an einer anderen Stelle war Ich habe mich schon gewundert, wie 4c1d auf diesen Vektor kam lol Und jetzt: weitermachen
13.03.2005, 15:31	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh leider nur Bahnhof... also, nachdem ich nun $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ so raus hab wie "4c1d" Erhalte ich für E: - 2x - 2y - z + 9 =0 und wenn ich das alles mit - 1 multiplizieren, erhalte ich die Lösung, die rauskommen soll :o) Tja, aber dann... wie konstruier ich denn eine Lotgerade auf? Hab davon noch nie 'was gehört :o( Und der Pocket Teacher gibt auch nicht viel hilfreiches... Oder muss ich die Normale aufstellen?? Wie denn?? argh
13.03.2005, 16:29	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
da bist du doch schon mal einen schritt weiter du kannst als lotgerade jetzt einfach eine Gerade aufstellen, die deinen Punkt P als Orts- und den Lotvektor der Ebene als Richtungsvektor hat
13.03.2005, 16:47	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh, also jetzt gl : $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} - 2 \\ - 1 \\- 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} - 2 \\ - 2\\ - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?? Jetzt müsste ich doch diese Lotgerade mit der Ebene zum Schnitt bringen, oder?!
13.03.2005, 17:06	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, so ist das vorgehen aber war der punkt nicht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?
13.03.2005, 17:15	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich hatte mich oben in der AUfgabenstellung beim Punkt vertippt! Der richtige Punkt ist P ( -2 / -1 / -3) So, und nun das ganze mit der Ebene zum Schnitt bringen?? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} - 2\\ -1\\ -3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} - 2\\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ -1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\-2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so, wenn ich das dann in 3 Gleichungssysteme bringe, erhalte ich - 2t - r - s = 5 - 2t +r - 2s = 3 - t - 2s = 4 aber wie bekomme ich dann jeweils r, s und t raus? Sind ja überall mind. 2 Variable :o// Und da würde ich dann den Lotfußpunkt rausbekommen???
13.03.2005, 18:09	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
du weißt nicht, wie man ein gleichungssystem mit 3 gleichungen und 3 unbekannten löst? du kannst z.B. den gauß-algorithmus verwenden, oder mit sonstigen einsetzungs-/gleichsetzungs-/addtions-/subtraktionsverfahren arbeiten. hier würde sich z.B. anbieten, zuerst die erste und die zweite gleichung zu addieren
13.03.2005, 19:26	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man, ich bin auch echt blöde... Tja, ist schon so lange her gewesen....Also, hab jetzt jeweils die Variablen raus: r = - 1,8 , s = -1,6 und t = - 0,8 habs überprüft, dürfe stimmen. So, nun das t in gl eingesetzt, da erhalte ich als Schnittpunkt von der Lotgeraden und der Ebene S ( - 0,4 / 0,6 / - 2,2) und was muss ich nun machen? Wie haben das bei unserem alten Lehrer nie gemacht - waren damals kein Prüfungskurs...:o/ Ich brauche alles nach wie vor eure Hilfe.... Dankeschön Mhh, ich hab das grad nochmal'n bissl anders gerechnet... Hab ja P ( -2 / -1 / - 3) und E: 2x + 2y + z - 9 = 0 -> E: 2x + 2y + z = 9 und $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also \| $\begin{eqnarray} \vec{n}\| = \sqrt{4+4+1} = 3 \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} ( 2x + 2y + z - 9) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} * ( 2 * - 2 + 2 * - 1 - 3 - 9 ) = - 6 < 0 \end{eqnarray*}$ d= 6 ist das der Abstand? Oder hab ich da jetzt kompletten Blödsinn gerechnet??!
13.03.2005, 19:57	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, sehe gerade, dass 2 deiner gleichungen nicht stimmen. die letzten beiden müssten $\begin{eqnarray} -2t + r + 2s = 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -t- 2s = 2 \end{eqnarray}$ heißen. Wenn du den Schnittpunkt dann nochmal berechnet hast, musst du noch den Abstand zwischen diesem Schnittpunkt und P berechnen, und zwar mit der Abstandsformel $\begin{eqnarray} \sqrt{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2} \end{eqnarray}$ edit : ja, das wäre die (richtige) lösung über die HNF allerdings brauchst du für den aufgabenteil, in dem du P spiegeln sollst, ohnehin den Lotfußpunkt
13.03.2005, 21:55	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ja, ich seh schon, hab mich mit den Vorzeichen vertan gehabt.. Hab nun für S ( 2 / 3 / -1 ) raus und über die Abstandsformel (hatte zuvor noch nie was davon gehört g) hab ich nun auch hier d = 6 raus. Muss ich das ganze nun zeichnen, um die Koordinaten des gespiegeltens Punktes P zu bekommen? Oder löst man das rechnerisch? Sorry, dass ich mich so dermaßen blöd anstelle, aber weder im Buch noch im Pocket Teacher noch in meinen alten Unterlage ist das irgendwie verständlich erklärt :o//
13.03.2005, 22:11	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
ne, das musst du nicht zeichnen. allerdings kann eine skizze sehr hilfreich sein, sich zu überlegen, wie man den punkt spiegelt im prinzip musst du die lotgerade von P auf E nehmen, die du schon bestimmt hast, und das auch schon errechnete zum Lotfußpunkt gehörende t verdoppeln bzw. für t in der geradengleichung 2*(-2) einsetzen. dann erhälst du den punkt, der P sozusagen, von der ebene aus betrachtet, gegenüber liegt, was der spiegelung von P an E entspricht.
13.03.2005, 22:28	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
also P ' ( 6 / 7 / 1) ??
13.03.2005, 22:36	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig
14.03.2005, 08:54	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
jupiiee :o) Vielen lieben Dank!!

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