Gauß-Verfahren mit Matrizenmultiplikation?

18.09.2007, 19:01

Blubberblase

Gauß-Verfahren mit Matrizenmultiplikation?

Hallo Forum!
Ich habe gelesen, dass die sogenannten Elementaroperationen im Gaußalgorithmus sich als Multiplikation mit Elementarmatrizen interpretieren lassen. Aber irgendwie habe ich nicht ganz verstanden, wie das funktionieren soll?

18.09.2007, 19:04

tigerbine

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RE: Gauß-Verfahren mit Matrizenmultiplikation?
Dann nimm doch einfach einmal eine Elementarmatrix und probier es aus,was beim Links bzw. Rechtsmultiplizieren an eine Matrix A passiert.

Weißt Du denn, was EM sind? Vielleicht auch mal in der Boardsuche schauen. Im Moment mag ich gerade kein Beispiel tippen. Vielleicht später. Augenzwinkern

18.09.2007, 19:24

Blubberblase

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Naja ich dachte eine Einheitsmatrix ist so eine Matrix wo überall Nullen enthalten sind, außer in den Diagonalen element.
Und eine Elementarmatrix ist laut Wikipedia so eine Matrix, wo entweder davon zwei Teilen vertauscht sind, oder irgendein anderes Element enthalten ist.
Aber wie muss diese Elementarmatrix für die Gausseliminierung aussehen?

18.09.2007, 19:43

tigerbine

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Stichwort: http://de.wikipedia.org/wiki/Frobeniusmatrix

18.09.2007, 19:48

Blubberblase

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ok jetzt weiß ich wie das funktionieren soll! danke!!

18.09.2007, 19:49

tigerbine

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Ein Beispiel:

Zitat:

[WS] Lösen von LGS (kommt in Kürze)
Wie berechnet man eine LR-Zerlegung?

Aus der Schulzeit erinnert man sich vielleicht noch an das Lösen von Linearen Gleichungssystemen. Dazu wurde die Matrix A mittels Elementarer Zeileinumformungen auf Dreiecksgestalt R gebracht (Änderungen wirken sich auch auf b aus) und das neue LGS wurde durch Rückwärtssubstitution gelöst. Würde man die an A,b durchgeführten Änderungen in einer Matrix $\begin{eqnarray*} L^{-1} \end{eqnarray*}$ L speichern, so ergäbe sich:

$\begin{eqnarray*} L^{-1}Ax = L^{-1}b \Leftrightarrow Rx = y \end{eqnarray*}$

Damit sei die Motivation erklärt, wie man mittels Frobeniusmatrizen letztendlich die LR-Zerlegung der Matrix konstruiert.

Die Konstruktion des Algorithmus soll hier dabei an einem Beispiel erläutert werden:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 2& 1&1 &0 \\ 4&3&3&1 \\ 8&7&9&5\\6&7&9&8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun sollen die Eintrage in der ersten Spalte unterhalb der Diagonale annulliert werden. Dies geschieht (Nachrechnen) durch folgende Matrizenmultiplikation:

$\begin{eqnarray*} L_1A= \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ -2&1 &0 &0 \\ -4 &0&1&0 \\ -3&0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2& 1&1 &0 \\ 4&3&3&1 \\ 8&7&9&5\\6&7&9&8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2& 1&1 &0 \\ 0&1&1&1 \\ 0&3&5&5\\0&4&6&8 \end{pmatrix} = A^{(2)} \end{eqnarray*}$

Nun ist die zweite Spalte an der Reihe:

$\begin{eqnarray*} L_2A^{(2)} = \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0 &-3&1&0 \\ 0&-4&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2& 1&1 &0 \\ 0&1&1&1 \\ 0&3&5&5\\0&4&6&8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2& 1&1 &0 \\ 0&1&1&1 \\ 0&0&2&2\\0&0&2&4 \end{pmatrix} = A^{(3)} \end{eqnarray*}$

Bleibt noch die dritte Spalte:

$\begin{eqnarray*} L_3A^{(3)} = \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0 &0&1&0 \\ 0&0&-1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2& 1&1 &0 \\ 0&1&1&1 \\ 0&0&2&2\\0&0&2&4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2& 1&1 &0 \\ 0&1&1&1 \\ 0&0&2&2\\0&0&0&2 \end{pmatrix} =R \end{eqnarray*}$

Nun kommen 2 Interessante Details. Man überprüfe durch nachrechnen, dass gilt (2),(3):

$\begin{eqnarray*} L_1^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 2&1 &0 &0 \\ 4 &0&1&0 \\ 3&0&0&1 \end{pmatrix},~L_2^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0 &3&1&0 \\ 0&4&0&1 \end{pmatrix},~L_3^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0 &0&1&0 \\ 0&0&1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L:=L_1^{-1}L_2^{-1}L_3^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0&0 \\ 2&1 &0 &0 \\ 4 &3&1&0 \\ 3&4&1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lehrer

Dieses einfache Übertragen der Einträge funktioniert nicht bei $\begin{eqnarray*} L_3L_2L_1 \end{eqnarray*}$ , denn:

$\begin{eqnarray*} L_3L_2L_1 = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\-2&1&0&0 \\2&-3&1&0\\3&-1&-1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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